En analyse, la fonction loggamma est une fonction réelle, définie comme le logarithme naturel de la fonction Gamma pour tout réel strictement positif.
Tracé de la fonction analytique ln o Γ(z ) La fonction ln o Γ dans le plan complexe −2 − 2i vers 2 + 2i La fonction loggamma est définie sur la demi-droite réelle positive par
ln
∘
Γ
:
R
+
⟶
R
x
↦
ln
(
Γ
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \circ \,\Gamma :&\mathbb {R} _{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\ln(\Gamma (x))\end{matrix}}}
En utilisant l'identité de Schlömlich, on a également :
∀
x
>
0
,
ln
∘
Γ
(
x
)
=
−
γ
x
−
ln
x
+
∑
k
=
1
+
∞
[
x
k
−
ln
(
1
+
x
k
)
]
.
{\displaystyle \forall x>0,\ln \circ \,\Gamma (x)=-\gamma x-\ln x+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[{\frac {x}{k}}-\ln \left(1+{\frac {x}{k}}\right)\right].}
où γ est la constante d'Euler-Mascheroni .
Elle est donc la solution de l'équation fonctionnelle :
f
(
z
)
=
f
(
z
+
1
)
−
ln
z
.
{\displaystyle f(z)=f(z+1)-\ln z.}
Une notation utilisée dans la littérature est
l
o
g
Γ
{\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }
De la formule asymptotique de Stirling appliquée à la fonction Gamma , on tire :
ln
∘
Γ
(
x
)
=
(
x
−
1
2
)
ln
x
−
x
+
1
2
ln
(
2
π
)
+
μ
(
x
)
{\displaystyle \ln \circ \,\Gamma (x)=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\ln x-x+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+\mu (x)}
avec μ la fonction de Binet vérifiant
μ
(
x
)
=
o
x
→
+
∞
(
x
)
{\displaystyle \mu (x)=o_{x\rightarrow +\infty }(x)}
Ce reste intégral peut s'exprimer par deux formules, dite première formule de Binet [ 1] , [ 2]
μ
(
x
)
=
∫
0
+
∞
(
1
2
−
1
t
+
1
e
t
−
1
)
e
−
x
t
t
d
t
{\displaystyle \mu (x)=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\right){\frac {\mathrm {e} ^{-xt}}{t}}\mathrm {d} t}
et deuxième formule de Binet [ 1] , [ 2]
μ
(
x
)
=
2
∫
0
+
∞
arctan
(
t
x
)
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle \mu (x)=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\arctan({\frac {t}{x}})}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}
Il existe également plusieurs représentations en série de la fonction de Binet, comme celui montré par Gudermann[ 3]
μ
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
[
(
x
+
k
+
1
2
)
ln
(
1
+
1
x
+
k
)
−
1
]
{\displaystyle \mu (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left[\left(x+k+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+k}}\right)-1\right]}
ou plus classiquement[ 4]
μ
(
x
)
=
∑
n
=
1
+
∞
c
n
∏
k
=
1
n
(
x
+
k
)
,
avec
c
n
=
1
n
∫
0
1
(
u
−
1
2
)
∏
k
=
0
n
−
1
(
u
+
k
)
d
u
.
{\displaystyle \mu (x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {c_{n}}{\prod _{k=1}^{n}(x+k)}},\ {\textrm {avec}}\;c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}(u-{\frac {1}{2}})\prod _{k=0}^{n-1}(u+k)\mathrm {d} u.}
La fonction log-gamma est convexe .
On a, pour tout entier strictement positif n :
(
ln
∘
Γ
)
(
n
)
=
ln
(
(
n
−
1
)
!
)
=
n
(
n
−
1
)
2
.
{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(n)=\ln((n-1)!)={\frac {n(n-1)}{2}}.}
(
ln
∘
Γ
)
(
n
2
)
=
1
2
ln
π
+
ln
[
(
n
−
2
)
!
!
]
−
n
−
1
2
ln
2.
{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )\left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \pi +\ln[(n-2)!!]-{\frac {n-1}{2}}\ln 2.}
On a[ 5] , [ 6]
∀
x
∈
]
−
1
;
1
]
,
(
ln
∘
Γ
)
(
x
+
1
)
=
−
γ
x
+
∑
n
=
2
+
∞
(
−
1
)
n
ζ
(
n
)
x
n
.
{\displaystyle \forall x\in ]-1;1],\ (\ln \circ \,\Gamma )(x+1)=-\gamma x+\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\zeta (n)x^{n}.}
La dérivée de la fonction log-gamma est la fonction digamma [ 7]
∀
x
>
0
,
(
ln
∘
Γ
)
′
(
x
)
=
ψ
(
x
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
.
{\displaystyle \forall x>0,\ (\ln \circ \,\Gamma )'(x)=\psi (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}
Raabe a démontré l'égalité[ 8] , [ 9]
∀
x
>
0
,
∫
0
1
ln
(
Γ
(
x
+
t
)
2
π
)
d
t
=
x
ln
x
−
x
.
{\displaystyle \forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {\Gamma (x+t)}{\sqrt {2\pi }}}\right)\mathrm {d} t=x\ln x-x.}
dont on déduit :
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
d
t
=
ln
(
2
π
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\ln({\sqrt {2\pi }}).}
Elle peut se déduire de la formule de Lerch sur la dérivée de la fonction zêta de Hurwitz [ 7]
∂
∂
s
ζ
(
s
,
q
)
|
s
=
0
=
ln
(
Γ
(
q
)
2
π
)
.
{\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,q)\right|_{s=0}=\ln \left({\frac {\Gamma (q)}{\sqrt {2\pi }}}\right).}
La fonction loggamma admet comme représentations intégrales :
(
ln
∘
Γ
)
(
x
)
=
−
∫
0
+
∞
(
x
−
1
−
1
−
e
−
(
x
−
1
)
t
1
−
e
−
t
)
e
−
t
t
d
t
+
ln
(
π
sin
(
π
x
)
)
{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(x)=-\int _{0}^{+\infty }\left(x-1-{\frac {1-\mathrm {e} ^{-(x-1)t}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}\right){\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{t}}\mathrm {d} t+\ln \left({\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\right)}
Malmsten )
(
ln
∘
Γ
)
(
x
)
=
∫
0
+
∞
(
(
x
−
1
)
e
−
t
−
(
1
+
t
)
−
x
−
(
1
+
t
)
−
1
ln
(
1
+
t
)
)
1
t
d
t
{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(x)=\int _{0}^{+\infty }\left((x-1)\mathrm {e} ^{-t}-{\frac {(1+t)^{-x}-(1+t)^{-1}}{\ln(1+t)}}\right){\frac {1}{t}}\mathrm {d} t}
Féaux )
(
ln
∘
Γ
)
(
x
)
=
−
∫
0
+
∞
e
−
t
t
(
e
t
x
−
1
1
−
e
−
t
−
x
)
d
t
+
ln
(
π
sin
(
π
x
)
)
{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(x)=-\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{t}}\left({\frac {\mathrm {e} ^{tx}-1}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}-x\right)\mathrm {d} t+\ln \left({\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\right)}
On a également[ 10] , [ 11]
∀
n
∈
N
∗
,
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
sin
(
2
π
n
t
)
d
t
=
ln
(
2
π
)
+
γ
+
ln
n
2
π
n
,
∀
n
∈
N
,
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
sin
(
(
2
n
+
1
)
π
t
)
d
t
=
ln
(
2
π
)
(
2
n
+
1
)
π
.
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\sin(2\pi nt)\mathrm {d} t={\frac {\ln(2\pi )+\gamma +\ln n}{2\pi n}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\sin((2n+1)\pi t)\mathrm {d} t={\frac {\ln(2\pi )}{(2n+1)\pi }}.}
∀
n
∈
N
,
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
cos
(
2
π
n
t
)
d
t
=
1
4
n
,
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
cos
(
(
2
n
+
1
)
π
t
)
d
t
=
2
π
2
(
ln
(
2
π
)
+
γ
(
2
n
+
1
)
2
+
2
∑
k
=
2
+
∞
ln
k
4
k
2
−
(
2
n
+
1
)
2
)
.
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\cos(2\pi nt)\mathrm {d} t={\frac {1}{4n}},\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\cos((2n+1)\pi t)\mathrm {d} t={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left({\frac {\ln(2\pi )+\gamma }{(2n+1)^{2}}}+2\sum _{k=2}^{+\infty }{\frac {\ln k}{4k^{2}-(2n+1)^{2}}}\right).}
∀
x
>
0
,
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
ζ
(
x
,
t
)
d
t
=
Γ
(
1
−
x
)
(
2
π
)
2
−
x
ζ
(
2
−
x
)
[
π
sin
(
π
x
2
)
+
2
cos
(
π
x
2
)
(
ln
(
2
π
)
+
γ
−
ζ
′
(
2
−
x
)
ζ
(
2
−
x
)
)
]
.
{\displaystyle \forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\zeta (x,t)\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (1-x)}{(2\pi )^{2-x}}}\zeta (2-x)\left[\pi \sin \left({\frac {\pi x}{2}}\right)+2\cos \left({\frac {\pi x}{2}}\right)\left(\ln(2\pi )+\gamma -{\frac {\zeta '(2-x)}{\zeta (2-x)}}\right)\right].}
Démonstrations des intégrales
Pour montrer la formule de Raabe, on utilise la formule du roi :
I
=
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
ln
Γ
(
1
+
0
−
t
)
d
t
⟹
2
I
=
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
d
t
+
∫
0
1
ln
Γ
(
1
−
t
)
d
t
=
∫
0
1
ln
[
Γ
(
t
)
Γ
(
1
−
t
)
]
d
t
{\displaystyle I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1+0-t)\mathrm {d} t\ \Longrightarrow \ 2I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1-t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \left[\Gamma (t)\Gamma (1-t)\right]\mathrm {d} t}
Par la formule des compléments :
2
I
=
∫
0
1
ln
[
π
sin
(
π
t
)
]
d
t
=
ln
π
−
1
π
∫
0
π
ln
sin
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle 2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \sin(t)\mathrm {d} t.}
La dernière intégrale est l'intégrale d'Euler :
2
I
=
∫
0
1
ln
[
π
sin
(
π
t
)
]
d
t
=
ln
π
+
1
π
×
π
ln
2.
{\displaystyle 2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi +{\frac {1}{\pi }}\times \pi \ln 2.}
d'où
∫
0
1
ln
Γ
(
t
)
d
t
=
1
2
ln
(
2
π
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\ln(2\pi ).}
On utilise ensuite la dérivation sous le signe intégral pour obtenir la formule plus générale :
d
d
x
∫
0
1
ln
Γ
(
t
+
x
)
d
t
=
∫
0
1
∂
∂
x
ln
Γ
(
t
+
x
)
d
t
=
∫
0
1
ψ
(
t
+
x
)
d
t
=
ln
Γ
(
x
+
1
)
−
ln
Γ
(
x
)
=
ln
x
⟹
∫
0
1
ln
Γ
(
t
+
x
)
d
t
=
∫
0
x
ln
u
d
u
=
x
ln
x
−
x
−
ln
(
2
π
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t+x)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial x}}\ln \Gamma (t+x)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\psi (t+x)\mathrm {d} t=\ln \Gamma (x+1)-\ln \Gamma (x)=\ln x\ \Longrightarrow \ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t+x)\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\ln u\,\mathrm {d} u=x\ln x-x-\ln \left({\sqrt {2\pi }}\right).}
On a le développement en série de Fourier :
∀
x
∈
]
0
;
1
[
,
ln
(
sin
(
π
x
)
)
=
−
ln
2
−
∑
n
=
1
+
∞
cos
(
2
n
π
x
)
n
{\displaystyle \forall x\in ]0;1[,\ \ln(\sin(\pi x))=-\ln 2-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\cos(2n\pi x)}{n}}}
Combiné avec la formule des compléments, on peut en déduire les valeurs des intégrales avec les fonctions trigonométriques.
Du fait de la croissance surexponentielle de la fonction gamma, la fonction loggamma peut être utilisée pour le calcul de la fonction gamma pour de grandes valeurs.
(en) Russell Leidich, « Error Bounds on the Loggamma Function Amenable to Interval Arithmetic », viXra 2016 (lire en ligne )
↑ a et b (en) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger et F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions , vol. 1, New York, McGraw-Hill Book Corp., 1981 ↑ a et b (en) E.T. Whittaker et G.N. Watson, A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press, 1902 (lire en ligne ) ↑ Philippe Gilbert, « Recherches sur le développement de la fonction Γ, et sur certaine intégrales définies qui en dépendent », Mémoires de l'Académie royale de Belgique , vol. 41, 1875 , p. 1-60 (lire en ligne ) ↑ (en) P. Van Mieghem, « Binet's factorial series and extensions to Laplace transforms 2023 .↑ (en) T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory , Springer, 1976 ↑ L. Bendersky, « Sur la fonction Gamma généralisée », Acta Mathematica , vol. 61, 1933 (lire en ligne ) ↑ a et b (en) Jason Musser, Higher Derivatives of the Hurwitz Zeta Function , coll. « PhD thesis » (lire en ligne ) ↑ (de) J.L. Raabe, « Angenäherte Bestimmung der Factorenfolge 1.2.3.4.5.... n = Γ(1+n ) = ∫xn e-x dx , wenn n eine sehr grosse Zahl ist.. », Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) vol. 25, 1843 , p. 146–159 (DOI 10.1515/crll.1843.25.146 ↑ (en) Tewodrod Amdeberhan, Mark W. Coffey, Olivier Espinosa, Christoph Koutschan, Dante V. Manna et Victor Moll, « Integrals of powers of loggamma », Proceedings of the American Mathematical Society vol. 139, no 2, février 2011 , p. 535-545 (DOI 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 lire en ligne ) ↑ (en) Olivier R. Espinosa et Victor H. Moll, « On some Definite Integrals involving the Hurwitz Zeta function version 1 , 2002 .↑ (en) K.S. Kölbig, « On three trigonometric integrals of lnΓ(x) or its derivative », Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 54, no 1, 1994 , p. 129-13 (DOI 10.1016/0377-0427(94)90400-6 
![{\displaystyle \forall x>0,\ln \circ \,\Gamma (x)=-\gamma x-\ln x+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[{\frac {x}{k}}-\ln \left(1+{\frac {x}{k}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189ff9639716ea01b5bfdef7e9105be70ad431e1)
![{\displaystyle \mu (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left[\left(x+k+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+k}}\right)-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd67ab1353974220feea46ab78fa4ae9dc25f89)
![{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )\left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \pi +\ln[(n-2)!!]-{\frac {n-1}{2}}\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a51371ca5459b3424f03fd8350e3e877637271)
![{\displaystyle \forall x\in ]-1;1],\ (\ln \circ \,\Gamma )(x+1)=-\gamma x+\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\zeta (n)x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed0e2f8f09f15425508cf5b6b18d914162004fd)
![{\displaystyle \forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\zeta (x,t)\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (1-x)}{(2\pi )^{2-x}}}\zeta (2-x)\left[\pi \sin \left({\frac {\pi x}{2}}\right)+2\cos \left({\frac {\pi x}{2}}\right)\left(\ln(2\pi )+\gamma -{\frac {\zeta '(2-x)}{\zeta (2-x)}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a909c84caa7c1c061c1fb508109adfb4de851a7)
![{\displaystyle I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1+0-t)\mathrm {d} t\ \Longrightarrow \ 2I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1-t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \left[\Gamma (t)\Gamma (1-t)\right]\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7c661c389251e350ff4fbda923418cf6766ecb)
![{\displaystyle 2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \sin(t)\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a98f197ffac7b89b5f35d1bcf3ab028dcc155d)
![{\displaystyle 2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi +{\frac {1}{\pi }}\times \pi \ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741112cd6b6dbe1f45b7dff216ed31a2c5bc9b29)
![{\displaystyle \forall x\in ]0;1[,\ \ln(\sin(\pi x))=-\ln 2-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\cos(2n\pi x)}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a60aac2cb3da133bdfa0dcf6ef6bb1ba1eec1f)
