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Le calendrier hébraïque est un calendrier luni-solaire composé d’années solaires, de mois lunaires, et de semaines de sept jours commençant le dimanche et se terminant le samedi, jour du chabbat. Comme point de départ, il se réfère à la Genèse (« Beréshit » : « commencement »), le premier livre de la Bible, dont il fait correspondre le début à l’an -3761 du calendrier grégorien (proleptique).

Par exemple, le 23 novembre 2024 correspond au 22 hechvan 5785 dans le calendrier hébraïque.

Alors que l’année religieuse débutait au printemps, au mois d’Aviv ou Nisan, le récit biblique rapporte qu’avant cela les Israélites faisaient commencer l’année à l’automne. Dans les faits on utilisait un double calendrier : le religieux et le civil ou agricole (Ex 23:16 ; 34:22 ; Lv 23:34 ; Dt 16:13). Après l’Exil, le 1^er Tishri, dans la deuxième moitié de l’année, marqua le début de l’année civile, et le Nouvel An juif ou Roch Hachana (« tête de l’année ») est toujours célébré à cette date-là.

Chaque nouveau mois commence avec la nouvelle lune. Le calendrier s’aligne sur une année solaire et sur des lunaisons de 29 jours 12 heures 44 minutes et 3 secondes + ⅓ de seconde et alterne des mois de vingt-neuf et de trente jours. Une année lunaire de douze mois fait 354,367 jours. Comme une année solaire fait 365,246 8 jours, près de onze jours se perdent chaque année^{[n 1]}. Pour rattraper ces jours perdus, les années comportent successivement douze ou treize mois lunaires, selon un cycle métonique.

Une lettre d'un Gamaliel — soit Gamaliel l'Ancien, soit Gamaliel de Yavné — atteste qu'au moins jusqu'au I^er ou II^e siècle le cycle métonique n'était pas en vigueur et que le moment de l'ajout d'un mois supplémentaire (embolisme) afin de faire coïncider au mieux l'année calendaire avec l'année tropique, appartenait au Sanhédrin^[1].^{[source insuffisante]} Selon la tradition, Yohanan ben Zakkaï a reçu la permission de l'empereur Vespasien d'établir une académie dans la ville de Yabneh (Jamnia)^[2], après être sorti de Jérusalem, au cours du siège de la ville^{[n 2]}. « Par ce coup de force consistant à réunir une assemblée des sages pharisiens les plus célèbres de son temps et à en prendre la présidence, Rabban Yohanan ben Zakkaï (mort ca. 80-85^[3]) parvient, aux yeux des membres du mouvement rabbinique, à se substituer à l'ancienne autorité du grand prêtre, à celle du sacerdoce et à celle du Sanhédrin^[4]. » Il avait auparavant demandé une autorisation aux autorités romaines^[3] qui ont dû « apprécier cette reprise en main, même limitée, d'une partie des Judéens par le mouvement rabbinique^[4]. »

Yohanan ben Zakkaï prend neuf décrets, des takkanot (« améliorations »), « qui sont présentés comme indispensables pour le culte, car ils concernent les dates des jours fastes, des jours jeûnés, des jours de fête et les débuts de mois^[5]. » Cette tâche revenait auparavant au grand prêtre et au sanhédrin, mais la destruction du Temple de Jérusalem — et probablement l'interdiction des Romains — ont laissé vacantes ces institutions^[5]. Cette récupération du calendrier liturgique aux dépens du sacerdoce a probablement rencontré l'opposition des prêtres, des scribes et des notables en général^[6],[5]. Toutefois, grâce à l'autorité incontestable dont Yohanan jouit dans le mouvement pharisien et parce qu'il s'agit des mesures essentielles qu'il fallait prendre à ce moment-là pour la poursuite du culte hors de Jérusalem, ces mesures ont probablement trouvé une certaine légitimité^[5]. « D'autant que le calendrier liturgique est toujours une des clefs de la légitimité en matière religieuse, même si l'autorité de ces mesures n'a probablement pas dépassé les frontières du mouvement rabbinique^[5]. »

Jusqu’au IV^e siècle, ce sont les autorités rabbiniques attachées à la cour du patriarche établi en terre d’Israël qui fixent les dates du calendrier juif sur la base d'observations météorologiques, agricoles et astronomiques^[7]. Selon une tradition rapportée par Haï Gaon au XI^e siècle^[8] le patriarche Hillel II est crédité d’avoir établi en 359 les règles de calcul du calendrier juif. Par ce geste, il abandonne un des derniers symboles de la puissance du Sanhédrin, qui jusqu’à lui déterminait seul le calendrier et donc la date des fêtes mais il permet ainsi au judaïsme de se perpétuer indépendamment de l’avenir de cette institution^[9]. Les règles qu’il rend publiques sont encore celles observées aujourd’hui. C'est probablement à ce moment qu'est adopté le cycle métonique.

Le calendrier hébraïque est fondé sur plusieurs unités de temps.

Le jour est donné par la trajectoire apparente du Soleil autour de la Terre. L'importance du jour dérive des versets de la Genèse du type Genèse 1-5 : « Il fut soir, il fut matin, un jour »^[10]. De ce fait, dans le calendrier hébraïque, les journées commencent au coucher du soleil.

Le mois est donné par le cycle de la Lune. Le terme hébraïque le plus courant pour désigner le mois (חודש , hodesh) est de la même racine que le mot nouveau (חדש, hadash), faisant référence à la nouvelle lune. Parfois le mot Lune (ירח, yaréah) lui-même est utilisé. En de nombreux endroits, le Pentateuque souligne l'importance des mois et des néoménies, débuts de mois. La tradition rabbinique explique que les débuts de mois coïncident avec la nouvelle lune, dont l'observation a été enseignée par Dieu à Moïse.

L'année solaire tire son importance de Deutéronome 16-1 qui précise que la Pâque doit être fêtée au mois de « Aviv », que l'on traduit aujourd'hui par printemps, mais qui marque plus précisément un événement agricole, la germination de l'orge. De fait, il convient que cette fête soit fêtée après l'équinoxe de printemps.

Enfin, la semaine de sept jours ne provient pas d'un événement naturel observable, mais de l'institution du shabbat, liée à la création du monde en 6 jours et au repos de Dieu le septième jour.

Ainsi, il est essentiel que les débuts de mois correspondent à la nouvelle lune. En revanche, il n'est pas indispensable que l'année soit exactement une année solaire. Il suffit que le décalage soit tel que la fête de Pâque n'arrive pas trop tôt.

Et de fait, il est impossible de faire que le mois soit parfaitement lunaire et l'année parfaitement solaire, car l'année solaire n'est pas un multiple de mois lunaire.

La durée de 19 années solaires est très proche de celle de 235 mois lunaires. Or, 19 années de 12 mois font 228 mois. Il suffit donc d'ajouter un mois supplémentaire dans 7 années sur 19 pour que les années restent en moyenne proches des années solaires.

Dès le milieu du VIII^e siècle av. J.-C., les astronomes babyloniens remarquèrent cette coïncidence. L'ajout de mois supplémentaires dans l'année était irrégulier au départ, mais il s'agissait toujours des mois d'Adarru (équivalent de l'hébreu Adar) ou Ellulu (équivalent d'Ellul). À partir du IV^e siècle, l'ajout devint plus régulier. Les années 3, 6, 8, 11, 14, 17 et 19 avaient un mois supplémentaire, toujours Adarru, sauf la 17^e année^[11].

Ce cycle porte le nom de cycle métonique, du nom du philosophe Méton d’Athènes qui décrit ce système en 433 av. J.-C., probablement sur la base des connaissances babyloniennes.

Le calendrier hébraïque est basée sur le même principe, avec le même choix de 7 années à 13 mois. L’année est dite « commune » quand elle compte douze mois, et « embolismique » quand elle en compte treize. En hébreu, l'année commune est appelée Pshouta (פשוטה), c'est-à-dire « simple », tandis que l'année embolismique est dite Me'ouberete (מעוברת), littéralement « enceinte ». À la différence du calendrier babylonien, c'est toujours le même mois qui est ajouté.

Au cours d’un cycle métonique, sept années sont embolismiques, les douze autres étant communes. Le mois supplémentaire des années embolismiques compte toujours trente jours : le mois d’Adar se dédouble pour donner Adar I (adar-richone en hébreu), le mois intercalaire proprement dit et Adar II (adar-chéni en hébreu).

La distribution des années de treize mois « embolismiques » au sein du cycle métonique de 19 ans est connue sous le nom de Gou’hadzat גוחאדז"ט (la valeur numérique des lettres formant ce mot représente les chiffres 3, 6, 8, 1, 4, 7, 9), soit une année de treize mois la 3^e, 6^e, 8^e, 11^e, 14^e, 17^e et 19^e du cycle solaire de 19 ans.

Les mois qui sont décrits dans la Bible dans les récits d'avant la destruction du premier temple n'ont ni les mêmes noms, ni le même ordre que dans le calendrier hébraïque actuel.

Le premier mois utilisé actuellement par les juifs (ordre du calendrier civil) est le 7^e dans la Bible (ordre du calendrier ecclésiastique), et réciproquement.

Les noms actuels des mois viennent de déformations de noms assyro-babyloniens assimilés par le peuple hébreu pendant l’exil à Babylone au IV^e siècle av. J.-C. On en trouve dans certains livres dont l'action se situe après l'exil (Ezra, Néhémie, Esther).

Dans les livres plus anciens de la Bible, seuls 4 mois sont désignés parfois par leur nom plus typiquement hébreu, alors qu'en général, ils sont désignés par leur numéro.

L’année juive compte traditionnellement quatre débuts d’année^[12]:

• L’année civile commence le premier du mois de tishri. Selon certains avis, il s’agit de la création du Monde. Les Juifs fêtent Roch Hachana, le Nouvel An juif à cette occasion. C’est le début de l’année civile juive et des yamim noraïm (en hébreu ימים נוראים, « jours redoutables », également connue comme les dix jours de pénitence) — les dix jours qui séparent Roch Hachana du Yom Kippour — pendant lesquels Dieu évalue les actions et le repentir des Juifs de l’année écoulée pour les inscrire (ou non) dans le Livre de la Vie de la nouvelle année.
• L’année ecclésiastique commence le premier du mois de nissan et ce depuis la sortie d’Égypte, comme il est dit : « Ce mois sera pour vous le commencement de tous les mois ». Cette date est également définie comme étant le nouvel an pour les rois. Le mois de nissan est appelé le premier mois dans la Torah.
• L’année fiscale commence le premier du mois de eloul. Cette date est utilisée pour calculer les impôts décrits dans la Torah.
• L’année agricole commence le 15 du mois de shevat, jour traditionnellement appelé « Nouvel An des arbres » (Tou Bichevat). Les lois concernant l’agriculture rythment cette année.

Dans le monde entier, y compris en Israël, les communautés juives utilisent le calendrier grégorien comme calendrier civil. Le calendrier hébreu sert à calculer les dates des fêtes religieuses, et fait débuter l’an un à la date supposée de la création du Monde (Anno Mundi, abrégé souvent A.M.). Cette date a été calculée en utilisant toutes les dates citées dans la Torah à propos des différentes personnes et des générations pour remonter jusqu’à Adam. Le premier jour du calendrier ainsi calculé correspond au lundi 7 octobre -3761 du calendrier julien proleptique (-3761 signifiant 3761 avant J.-C., convention selon laquelle l'année -1 précède immédiatement l'année 1 après J.-C.). Le premier jour de la création du Monde est réputé être le dimanche 6 octobre -3761, le premier jour de la première année du calendrier a commencé le soir de ce premier jour pour finir le soir du lundi 7 octobre -3761. Ce calcul est tardif puisqu’il a été réalisé par le patriarche Hillel II en l’an 359 du calendrier julien.

Au Moyen Âge, le calcul du calendrier était considéré comme un secret réservé à une élite. Que ce soit à l'époque du calendrier résultant de l'observation, ou à celle du calendrier calculé où nous sommes, la fixation du calendrier relevait d'un savoir que peu d'individus avaient. C'est ce qu'on appelait le « sod ha'ibour », le secret de l'embolisme, littéralement l'art de décider quand mettre en place un treizième mois.

Il était important toutefois que les populations juives puissent utiliser le calendrier pour leur besoin religieux sans ce savoir particulier. C'est pourquoi le calendrier produit un nombre limité de type d'années, 14, résumées dans un trigramme en hébreu. Quiconque sait lire l'hébreu, et connait quelques règles simples, peut en déduire les dates des fêtes religieuses. Cela suffisait pour l'ensemble des populations.

Dans le détail des calculs expliqué ci-dessous, on verra que des règles de calcul parfois complexes, contribuent à la limitation du nombre de type d'année, et à empêcher l'apparition de configurations d'années rarissimes dont les règles seraient délicates à mettre en pratique. De nos jours où les calendriers peuvent être imprimés et diffusés massivement, ces règles peuvent paraître inutiles. Elles ont contribué à faciliter la pratique religieuse dans de très larges populations dispersées.

Ce chapitre fournit suffisamment d'informations pour calculer le calendrier mais ne donne pas toutes les explications et justifications. Celles-ci sont fournies dans d'autres sections.

Le calcul du calendrier consiste dans un premier temps à calculer la structure générale d'une année. Pour ce faire, on détermine le nombre de mois de l'année et l'heure de la nouvelle lune (en hébreu מולד ou Molad) en début d'année, puis on applique des règles pour en déduire le jour du nouvel an, Roch Hachana. On fait la même chose pour l'année qui suit, et l'on en déduit le nombre de jours de l'année.

Le jour de la semaine de Roch Hachana et le nombre de jours de l'année permettent de déduire un type d'année parmi 14 possibles.

Dans un deuxième temps, on peut alors remplir tous les éléments de l'année : les fêtes, les néoménies, les lectures hebdomadaires de la Torah, et d'autres évènements liturgiques. La grande majorité des éléments utiles à la vie religieuse dépendent directement du type d'année.

Quelques autres éléments ne se déduisent pas directement de ce type d'année, mais dépendent de l'année solaire.

L'unité pour le calcul du calendrier est le heleq (pluriel halaqim). Il y en a 18 par minute, soit 1080 par heure. Il dure donc 3 secondes et ⅓.

La tradition explique que les instants calculés dans le calcul du molad sont dans un calendrier où les jours commencent à 18 heures un soir, et se terminent à 18 heures le jour suivant, et que les heures sont données en heures de Jérusalem. Ce systèmes d'heures, dit « heures fixes », ne sert quasiment que pour calculer les jours du calendrier.

Lorsqu'il s'agit de déterminer l'horaire précis de la vie liturgique quotidienne, un autre système d'heures existe. Ce dernier, dépend de la durée de chaque jour, en fonction du lever et du coucher du soleil. Il ne sera pas utilisé dans cet article.

Quelques points de repère sont indispensables pour effectuer les calculs. Voici la liste des valeurs utilisées. Ci-dessous d'autres sections discuteront de la pertinence et de l'impact de ces valeurs.

• La durée d'un mois lunaire est fixée par la tradition (Talmud de Babylone, traité Roch Hachana 25a) à 29 jours 12 heures, et 793 halaqim, ce qui correspond à 29,5305941358 jours ; et correspondant en outre avec une précision incroyable, supérieure à 1/100 000, à la durée astronomique de la lunaison qui est de 29,530 589 jours^[13] !
• La durée de l'année solaire (temps entre deux équinoxes de printemps) est fixée à 365 jours et 6 heures.
• Le quart de cette valeur correspond à l'écart entre les teqoufot (équinoxes et solstices), soit 91 jours, 7 heures et 540 halaqim.
• Pour les besoins des calculs, on considère que le molad au début de la première année a eu lieu le lundi à 5 heures et 204 halaqim.
• Le premier équinoxe de printemps a eu lieu 24 semaines plus tard, le mercredi à 0 heure.

Il y a plusieurs méthodes pour calculer le calendrier. Les méthodes décrites dans ce chapitre permettent de suivre le déroulement des exemples ci-dessous, et d'expliquer les règles du calendrier. Mais elles ne sont en rien imposées par la tradition. Elles relèvent de choix pratiques du rédacteur de l'article.

Deux approches du calcul sont ici proposées. La première est à recommander pour le débutant qui veut comprendre les mécanismes du calendrier, ou pour une personne qui souhaite effectuer le calcul de la prochaine année à la main. La deuxième est utile quand on veut mettre en place un calcul systématique, notamment informatique.

Le calcul de proche en proche revient à considérer que l'on connait les caractéristiques d'une année et que l'on calcule petit à petit les caractéristiques de l'année suivante.

Ce type de calcul est proche du calcul traditionnel qui pouvait être effectué à la main avant l'apparition d'outils de calcul automatique.

Généralement, on représente des instants en jour/heure/halaqim, voire en semaine/jour/heure/halaqim. Il faut alors apprendre à faire des additions ou multiplications entre instants, en tenant compte des retenues. Les exemples ci-dessous illustreront ces techniques.

Généralement, le lien entre les dates du calendrier hébraïque et d'autres calendriers, notamment grégorien, se font de proche en proche également, en comparant le nombre de jours d'une année sur l'autre.

Il est généralement utile de repérer des évènements au sein d'une semaine. On peut les représenter comme un nombre de halaqim entre 0 et la durée d'une semaine ${\displaystyle 7\times 24\times 1\,080=181\,440}$.

Dans cet article, on prend comme point de départ de la semaine le samedi à 0 heure.

Par exemple, le premier molad qui a eu lieu un lundi à 5 heures et 204 halaqim peut être considéré comme étant à ${\displaystyle 57\,444=204+1\,080\times (5+24\times 2)}$halaqim.

Quand on veut calculer une année indépendamment de l'année précédente, ou faire un calendrier automatique, avec des outils informatiques, il est utile de représenter des instants absolus.

Il vaut mieux alors ne manipuler que des nombres de halaqim, que l'on peut additionner et multiplier comme des nombres habituels, et les convertir en jour/heure/halaqim au moment de l'affichage.

Par exemple, le mois lunaire de 29 jours 12 heures, et 793 halaqim peut être manipulé comme un mois de 765 433 halaqim = ${\displaystyle 793+1\,080\times (12+24\times 29)}$.

Quand on fera des calculs directs, on n'aura pas de point de repères dans un autre calendrier ou dans une année précédente. On utilisera pour point de départ des calculs, le samedi d'avant le premier molad à partir de 0 heure. Ici également, il s'agit d'une convention pratique utilisée dans cet article, mais que la tradition n'impose pas.

On obtiendra des données directement en nombre de halaqim (de l'ordre de plusieurs dizaines de milliards) ou en nombre de semaines, jours, heures et halaqim. Le nombre de semaines se comptant alors en centaine de milliers. Ce type de calculs n'est pas pratique à la main. Avant l'invention des machines à calculer et ordinateur, ils ne devaient être utilisés que pour la mise en place du calendrier. Mais la méthode itérative servait pour les besoins courants.

Par exemple, le premier équinoxe de printemps qui a eu lieu 24 semaines après le premier molad, un mercredi (4^e jour) à 0 heure sera représenté par ${\displaystyle 1\,080\times 24\times (4+7\times 24)=4\,458\,240}$.

À titre d'exemple, voici comment on fait des calculs avec des durées ou des instants exprimés en semaines, jours, heures et halaqim. Le but est d'illustrer un exemple d'addition et un exemple de multiplication. On va calculer la durée d'une année de 12 mois en multipliant par 12 la durée d'un mois. Puis, on va calculer la durée d'une année de 13 mois en ajoutant un mois à la valeur précédente.

L'idée est de faire le calcul valeur par valeur, puis de regrouper les quantités trop grandes dans les unités supérieures. Quand on a 1 080 halaqim, on les remplace par une heure, quand on a 24 heures, on les remplace par 1 jour, et quand on a 7 jours, on les remplace par une semaine. C'est le système des retenues de nos additions et multiplications usuelles, mais la limite pour déclencher une retenue n'est pas 10.

Cette méthode est proche de la méthode manuelle traditionnelle.

Avec une calculatrice ou un ordinateur, on utilise directement les valeurs ${\displaystyle 12\times 765\,433=9\,185\,196}$, et ${\displaystyle 13\times 765\,433=9\,950\,629}$.

On vérifie que ces résultats sont identiques :

• 12 mois font 876 halaqim, 8 heures, 4 jours et 50 semaines qui correspondent à ${\displaystyle 876+1\,080\times (8+24\times (4+7\times 50))=9\,185\,196}$ halaqim.
• 13 mois font 589 halaqim, 21 heures, 5 jours et 54 semaines qui correspondent à ${\displaystyle 589+1\,080\times (21+24\times (5+7\times 54))=9\,950\,629}$ halaqim.

Suivant le contexte, il peut être utile de regrouper les jours et les semaines (4 sem + 1 jour = 29 jours) avant de faire les opérations.

De manière générale, il peut être utile de faire preuve d'astuce pour accélérer les calculs. Par exemple, dans le calcul de 12 mois, on peut constater que 1 jour et 12 heures font ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$jours. En multipliant par 12, on obtient directement 18 jours, soit 2 semaines et 4 jours.

Compte tenu des conventions utilisées, voici les valeurs à retenir pour les calculs.

Le nombre de halaqim seules est obtenu par la formule suivante :${\displaystyle ((Semaines\times 7+jours)\times 24+heures)\times 1\,080+halaqim}$

Le nombre de mois d'une année se détermine selon le cycle de Méton. On cherche le rang de l'année dans un cycle de 19 ans. Si le résultat est 3, 6, 8, 11, 14, 17 ou 19, l'année a 13 mois, sinon elle en a 12.

Si l'on calcule le calendrier de proche en proche, il suffit de noter pour chaque année calculée, à quelle position du cycle de 19 ans elle se situe. On l'incrémente d'année en année, mais après 19, on revient à 1.

Si on calcule directement une année, il suffit de calculer le numéro de l'année modulo 19. Par exemple, l'année 5776 est la 19^e après le cycle 303 car ${\displaystyle 5\,776=303\times 19+19}$.

Pour déterminer complètement une année, on doit connaître également le nombre de mois de l'année précédente et le nombre de mois de l'année suivante.

L'instant de la nouvelle lune, en début d'année va permettre de calculer la date du nouvel an.

Si on fait le calcul de proche en proche, on part d'un molad connu. On lui ajoute la durée du nombre de mois de l'année qui suit ce molad.

Si le molad commence une année de 12 mois, on ajoute soit ${\displaystyle 12\times 765\,433=9\,185\,196}$ halaqim, soit 354 jours, 8 heures et 876 halaqim.

Si le molad commence une année de 13 mois, on ajoute ${\displaystyle 13\times 765\,433=9\,950\,629}$ halaqim, soit 383 jours, 21 heures et 589 halaqim.

Si l'on fait un calcul direct, on peut compter le nombre de mois depuis la création par la formule ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {235\times {\text{Année}}-234}{19}}\right\rfloor }$ où l'expression ${\displaystyle \lfloor X\rfloor }$ désigne la partie entière de X^{[n 5]}.

On multiplie le nombre de mois par la durée du mois donnée ci-dessus (765433), et l'on ajoute l'instant du premier molad (57444). Cela donne l'instant du molad de début de l'année.

En prenant le reste de ce résultat modulo la durée d'une semaine (181440), on trouve l'instant de la nouvelle lune dans la semaine. À ce stade, on ne connaît pas la date civile correspondante.

A priori, le nouvel an juif, Roch Hachana, devrait tomber le jour du Molad, mais la tradition a retenu 4 raisons de le repousser aux jours suivants. Ces raisons sont appelées Dekhya (pluriel Dekhyoth).

Dekhya 1 : Roch Hachana ne peut tomber le dimanche, le mercredi ou le vendredi. Si la nouvelle lune est un de ces jours, on repousse Roch Hachana au jour suivant.

Cette règle est appelée לא אד"ו ראש, c'est-à-dire "La tête (de l'année) n'est pas 1, 4, 6".

Dekhya 2 : Si le Molad est après 18 heures, on considère qu'elle ne peut être observée, et on repousse au jour permis suivant. Par exemple, si la nouvelle lune est mardi à 19 heures, on repousse à jeudi, car mercredi n'est pas un jour permis pour Roch Hachana.

Cette règle est appelée מולד זקן, c'est-à-dire "Le vieux molad".

Dekhya 3 : Si on est au début d'une année à 12 mois, et la nouvelle lune tombe le mardi, à partir de 9 heures et 204 halaqim, on repousse Roch Hachana à jeudi.

Cette règle est appelée ג"ט ר"ד פשוטה, c'est-à-dire "3 9, 204 dans le simple", autrement dit, "mardi, 9 heures 204 les années à 12 mois".

Dekhya 4 : Si on est après une année à 13 mois, et la nouvelle lune tombe le lundi à partir de 15 heures et 589 halaqim, on repousse Roch Hachana à mardi.

Cette règle est appelée בט"ו תקפ"ט אחר העיבור, c'est-à-dire "2 15, 589 après l'embolisme", autrement dit "Lundi 15 heures 589 après une année à 13 mois".

On note donc qu'il faut connaître le nombre de mois de l'année calculée et de l'année précédente pour déterminer Roch Hachana.

On peut résumer l'application des Dekhyot dans le schéma suivant qui résume comment l'instant du molad dans la semaine se traduit en jour de Roch Hachana.

On calcule Roch Hachana de l'année et de l'année suivante avec la méthode précédente et l'on trouve la durée de l'année.

Une année de 12 mois dure normalement 354 jours, tandis qu'une année de 13 mois dure normalement 384 jours.

Une année peut faire un jour de plus ou de moins que la durée normale.

Si on trouve la durée normale, l'année est dite régulière (Kesidra en hébreu), si elle a un jour en moins elle est défective (Hasera), si elle en a un de plus elle est abondante (Shelema).

Par défaut les 12 mois de l'année alternent 30 et 29 jours. Ce qui en tout donne une durée de : ${\displaystyle 6\times (30+29)}$ = 354 jours. Dans ce cas, l'unique mois de Adar, 5^e de l'année, fait 29 jours.

Si l'année possède 13 mois, on intercale un mois de 30 jours juste avant que l'on appelle Adar I, et le mois de Adar de 29 jours prend le nom de Adar II. L'année a alors 384 jours.

Si l'année est déficiente, le 3^e mois de l'année, Kislev, passe de 30 jours à 29 jours.
Si l'année est abondante, le 2^e mois de l'année, Hèchvan, passe de 29 à 30 jours.

On peut énumérer les possibilités pour les caractéristiques d'une année.

Il y a :

• 4 jours de la semaine pour Roch Hachana en début d'année
• 6 longueurs d'année
• 4 jours de la semaine pour Roch Hachana l'année suivante

Mais les 96 combinaisons ne sont pas possibles, il n'y a que 15 combinaisons cohérentes. Par exemple, si une année commence un lundi et dure 384 jours, alors l'année suivante commencera un dimanche, jour interdit.

Ce tableau donne en fonction du jour de début d'année et de la longueur de l'année, le jour de début d'année suivante. Les cases barrées correspondent aux cas illégaux.

Il y a donc 15 combinaisons légales. Ce n'est pas parce qu'une combinaison est légale qu'elle existe réellement. Les calculs détaillés montrent que la combinaison entre parenthèses, une année de 385 jours débutant un mardi, ne se produit jamais.

Chacune de ces combinaisons possibles reçoit un nom en 3 lettres hébraïques résumant les caractéristiques de l'année.

Quand on a déterminé le type de l'année, il est possible de placer tout son contenu de manière systématique, à l'exception de quelques éléments liés au soleil (équinoxes et solstices). En particulier, on connait toutes les dates de fêtes (dont certaines peuvent avoir une date variable, notamment pour éviter les jeûnes le Shabbat), mais également l'ordre de lecture des sections de la Thora à chaque Shabbat.

Voici les caractéristiques principales des 15 types d'années que l'on peut imaginer. Comme expliqué ci-dessus, l'un des 15 types légaux n'arrive jamais, celui qui a pour nom גשא, il n'y a donc en réalité que 14 types.

Une fois déterminé le type de l'année, son remplissage ne dépend plus des calculs précédents, et notamment de la Lune. Tous les évènements de l'année, sauf une minorité qui dépendent du Soleil peuvent être placés de manière mécanique.

Les jours de fêtes du calendrier juif ne sont pas tout à fait les mêmes en terre sainte et à l'extérieur. En effet, à l'époque où le calendrier résultait de l'observation de phénomènes naturels et de témoignages au Sanhédrin à Jérusalem, les décisions de ce dernier étaient transmises par messagers.

Dans l'attente, et dans le doute, les fêtes bibliques étaient respectées sur 2 jours par les juifs éloignés de Jérusalem, notamment ceux de Babylonie. Lorsque le calendrier est devenu calculé, la tradition a été maintenue.

Certains jours des fêtes bibliques fixées par commandement biblique, font l'objet d'interdits particuliers notamment pour les tâches considérées comme un travail pour shabbat. On les appelle fêtes chômées ou Yom Tov. Les autres jours des fêtes bibliques se nomment Hol Hamoed (partie profane des fêtes)

Les principales fêtes ont les dates suivantes :

Les jours de nouvelle lune sont nommés Roch Hodech (au pluriel Raché Hodachim), en français néoménie.

On ne parle pas de Roch Hodesh pour le début du mois de tichri, qui est avant tout le nouvel an.

Pour les autres mois, la règle est la suivante :

• Si un mois a 29 jours, le mois suivant n'a qu'un seul jour de Roch Hodech, le premier du mois.
• Si un mois à 30 jours, le mois suivant a 2 jours de Roch Hodech : le 30 du mois précédent, et le premier du mois.

Exemples :

• le mois de heshvan a deux jours de Roch Hodech, le 30 tishri, et le 1^er hesvan. En effet, le mois précédent, tishri a 30 jours.
• le mois de shevat qui suit le mois de tevet qui a 29 jours, n'a qu'un seul jour de Roch Hodech : le 1^er shevat.
• Les mois de kislev et tevet ont un nombre de jours variable de Roch Hodech puis qu'ils suivent respectivement heshvan et kislev dont le nombre de jours varie.

Cette pratique tire son origine de l'époque où le nouveau mois était déterminé par observation. Les populations juives éloignées de Jérusalem ne pouvait pas être certaines d'être informées de la déclaration du nouveau mois.

On considérait toujours que le 30^e jour du mois était Rosh Hodech. Si la nouvelle lune était effectivement observée, alors ce jour était déclaré le premier du mois suivant, et il y avait un seul jour de Rosh Hodech. Si la lune n'était pas observée, alors le jour suivant était automatiquement le premier du mois, et Rosh Hodech était prolongé d'un jour.

Le molad associé aux différents mois n'affecte pas le calcul de ces mois. Mais il est important de connaître l'instant de ces molads, car ceux-ci sont annoncés à la synagogue, pendant shabbat.

Les différents molads se calculent en ajoutant la durée du mois lunaire au molad de début d'année.

La thora est divisée en 54 sections appelées Parasha ou Sidra. Il est d'usage de lire ces sections le shabbat matin à la synagogue suivant un cycle annuel.

Le cycle n'est pas exactement calé sur les années, car le point de départ est la fête de Simhat Thora. Dans l'année, on lit 53 parashiot et la 54^e est lue lors de cette fête.

Toutes les années n'ont pas le même nombre de shabbats, et tous les shabbats ne sont pas éligibles à la lecture dans le cadre du cycle annuel. Les jours de fêtes chômées ne sont pas éligibles. Le nombre de shabbats éligibles dépend à la fois du type d'année, mais également du lieu, puisqu'en terre sainte il y a moins de jours de fêtes chômées.

Il peut y avoir entre 46 et 53 shabbats éligibles. De ce fait, il est d'usage de jumeler entre 0 et 7 couples de parashiot suivant le lieu et le type d'année.

Voici en fonction du type d'année, et du lieu (TS=terre sainte, HT=hors terre sainte) les couples de parasha à jumeler.

Avant Simhat Thora, on répartit les parasha en fonction du jour de Roch Hachana :

Certains éléments du calendrier, y compris des évènements liturgiques ne sont pas liés au calendrier lunaire, mais au calendrier solaire.

Pour cela, la tradition se fonde sur une durée relativement approchée de l'année solaire : 365,25 jours. Les points de repère sont les équinoxes et les solstices, qui en hébreu portent tous le même nom : Teqoufa (pluriel Teqoufot).

Les teqoufot ne portent pas le nom d'une saison, mais le nom du mois où elles se trouvent fréquemment :

• Teqoufa de Tishri = Équinoxe d'automne
• Teqoufa de Tevet = Solstice d'hiver
• Teqoufa de Nissan = Équinoxe de printemps
• Teqoufa de Tammouz = Solstice d'été

La teqoufa de Tishri pouvant se trouver le mois d'avant, elle a même lieu en dehors de l'année qui lui donne son nom.

Il est très facile de calculer la teqoufa de proche en proche. Il suffit d'ajouter 365 jours et 6 heures soit ${\displaystyle 1\,080\times (6+24\times 365)=9\,467\,280}$ halaqim pour passer d'une teqoufa à son homologue de l'année d'après. Il est à noter que ce calcul est particulièrement simple en utilisant les dates du calendrier grégorien.

Et pour passer d'une teqoufa à la suivante, il suffit d'ajouter le quart de cette valeur 91 jours 7 heures et 540 halaqim (soit 2 366 820 halaqim), ou plus simplement 13 semaines et 7 heures et demie.

Le calcul direct est plus délicat.

La tradition dit que lors de la première année, la teqoufa de nissan fut un mercredi d'avant à 0 heure, 24 semaines et 4 jours après le samedi qui sert de point de départ à nos calculs, c'est-à-dire à l'instant ${\displaystyle (24\times 7+4)\times 24\times 1\,080=4\,458\,240}$ halaqim. La teqoufa de nissan se trouve cette année 7 jours, 9 heures et 642 hal avant le molad de nissan, c'est-à-dire ${\displaystyle 642+1\,080\times (9+24\times 7)=191\,802}$ halaqim plus tôt.

On peut également calculer le fait que sur un cycle de 19 ans, la teqoufa de nissan prend de l'avance sur le molad de nissan, à savoir 1 heure et 485 halaqim (soit 1565 halaqim).

Il y a alors deux stratégies pour calculer la teqoufa de nissan :

• La première consiste à multiplier le numéro de l'année moins 1 par la durée en halaqim de l'année solaire. Le résultat est à convertir en semaines, jour, halaqim, et à comparer à une autre date de l'année (un molad par exemple).
• La deuxième consiste à calculer le décalage entre la teqoufa de Nissan et le molad de Nissan de l'année. On connait ce décalage la première année (la teqoufa étant en retard sur le molad), ainsi que l'avance prise par la teqoufa sur le molad à chaque cycle de 19 ans. Cela permet de calculer la teqoufa de la première année du cycle courant. Ensuite, il suffit d'ajouter 365,25 jours par an pour arrivée à l'année courante.

Pendant la prière de la Amida, une bénédiction peut porter sur la pluie ou la rosée suivant le moment de l'année.

En terre sainte, la demande de la pluie va du 7 heshvan au début de Pâque.

En dehors de terre sainte, on ne commence pas à date fixe, mais 60 jours après le Teqoufa de tishri.

Tous les 28 ans, la Teqoufa de nissan arrive comme la première année, un mercredi à 0 heure. C'est l'occasion de la bénédiction du soleil.

Je veux calculer l'année 5776 (2015/2016). C'est l'année 19 du cycle de Méton (5776 = [19 × 303] + 19). C'est donc une année à 13 mois, précédée et suivie d'années à 12 mois.

Je suppose que j'ai déjà calculé l'année d'avant le Molad, début 5775. Il a lieu un mercredi 24 septembre 2014, à 14 heures et 339 halaqim.

J'ai besoin de calculer le Molad début 5776 et début 5777, en ajoutant la durée de 12 mois lunaires, puis 13 mois lunaires.

Je peux également connaître ce Molad en faisant ce calcul depuis l'origine.

Le nombre de mois depuis la création est ${\displaystyle \lfloor {\frac {235\times 5\,776-234}{19}}\rfloor =71\,427}$.

Le nombre de halaqim d'un mois est 765 433 et le premier molad a eu lieu à l'instant 57 444 halaqim après le début de la première semaine.

L'instant du molad de tishri ${\displaystyle 71\,427\times 765\,433+57\,444=54\,672\,640\,335}$ ce qui veut dire 301 326 semaines 1 jour 23 heures et 135 halaqim après le premier samedi à 0 heure de la semaine du premier molad. On retrouve bien un dimanche à 23 h 135hal comme dans la méthode itérative, sauf que rien ne permet à ce stade de faire le lien avec le calendrier civil.

On peut retrouver le molad de l'année suivante soit par la méthode de proche en proche, soit par la méthode directe.

Pour calculer Roch Hachana 5776, on applique le décalage 1 : Roch Hachana ne peut pas être un dimanche. Ce sera donc lundi 14 septembre 2015.

Pour calculer Roch Hachana 5777, on applique le décalage 2, et après le décalage 1 : la lune se lève après 18 heures, on décale au prochain jour permis, le lundi 3 octobre 2016.

On obtient donc une année de 385 jours qui va d'un lundi à un autre lundi. Elle est donc de type בשז d'après le tableau ci-dessus.

D'après les règles données sur les mois, notre année a 30 jours en heshvan et kislev, et contient deux mois de adar, de nombre de jours respectifs 30 et 29. En ajoutant la durée des mois, successivement à partir du 1^er Tishri, on trouve tous les premiers du mois. On vérifie que l'on finit par retomber sur le 1^er Tishri suivant.

De même on peut calculer les molads de proche en proche. On part du molad de tishri, et on ajoute 29 jours, 12 heures et 793 halaqim à chaque mois. On reporte les retenues comme indiqué dans les méthodes de calcul. On vérifie à la fin que l'on ne s'est pas trompé en vérifiant que l'on retombe bien sur le molad de tishri de l'année suivante.

Pour aider le lecteur à comprendre le calcul des molads, le calcul brut d'un molad à partir du précédent, avant prise en compte des retenues a été ajouté en italique.

Enfin, on calcule les jours de Rosh Hodesh : il n'y en a pas en tishri. Ensuite, il y a le dernier jour des mois de 30 jours, et le premier de tous les mois.

Pour la Teqoufa, on part également de l'année 5775 :

• La Teqoufa de tishri a eu lieu le mardi 13 tishri (7 octobre 2014) à 21 h 0 hal
• La Teqoufa de tevet a eu lieu le mercredi 16 tevet (7 janvier 2015) à 4 h 540 hal (4 h 30 min)
• La Teqoufa de nissan a eu lieu le mercredi 19 nissan (8 avril 2015) à 12 h 0 hal
• La Tekoufa de tammouz a eu lieu le mercredi 21 tammouz (8 juillet 2015) à 19 h 540 hal (19 h 30 min)

Il est aisé de constater que de Teqoufot consécutives sont bien décalées de 6 semaines (ou en tout cas un nombre entier de semaines) de 7 heures et de 540 halaqim. À chacune de ces dates, on ajoute 365 jours et 6 heures :

• La Teqoufa de tishri a eu lieu le jeudi 2 tishri (8 octobre 2015) à 3 h 0 hal
• La Teqoufa de tevet a eu lieu le jeudi 26 tevet (7 janvier 2016) à 10 h 540 hal (10 h 30 min)
• La Teqoufa de nissan a eu lieu le jeudi 28 adar II (7 avril 2016 ) à 18 h 0 hal
• La Tekoufa de tammouz a eu lieu le jeudi 2 tammouz (8 juillet 2016) à 1 h 540 hal (1 h 30 min)

On notera que le calcul des Teqoufot est bien plus facile avec le calendrier grégorien (attention toutefois aux années bissextiles). Et l'on notera également que les Teqoufot de tishri et nissan (équinoxes) sont toujours sur des heures entières, alors que les deux autres (solstices) sont sur des demi-heures.

L'instant du molad de Tishri a été calculé plus haut ${\displaystyle 71\,427\times 765\,433+57\,444=54\,672\,640\,335}$.

C'est un dimanche à 23 heures 135 hal. Le calcul direct ne nous dit pas que ce dimanche est le 13 septembre 2015.

Roch Hachana est le lundi qui suit.

Le molad de Nissan arrive 7 mois après le molad de Tishri (puis qu'on est une année à 13 mois).

Calculons quand il arrive : ${\displaystyle 54\,672\,640\,335+7\times 765\,433=54\,677\,998\,366}$

C'est un jeudi à 16 heures 286. Le calcul direct ne nous dit pas qu'il s'agit du 7 avril 2016.

Le premier Nissan est le samedi qui suit.

De même, le calcul des Teqoufot peut se faire en partant de la première Teqoufa de Nissan, et en ajoutant 5 775 années solaires. ${\displaystyle 4\,458\,240+5\,775\times (365{,}25\times 24\times 1\,080)=54\,678\,000\,240}$.

La teqoufa est donc en avance sur le molad de ${\displaystyle 54\,678\,000\,240-54\,677\,998\,366=1\,874}$ soit une heure et 794 halaqim. La Teqoufa a donc lieu le jeudi à 18 heures, 2 jours avant le 1^er nissan.

La date exacte est Jeudi 28 Adar II à 18 heures.

Même résultat que la méthode de proche en proche.

L'année 5776 est la 19^e du cycle commençant en 5758.

Cette année-là, par des moyens décrits plus haut, on peut trouver que le molad de Tishri a lieu le jeudi 2 octobre 1997 à 4 h et 129 hal. Le molad de Nissan a lieu le samedi 28 mars 1998 à 8 h et 567 hal.

D'autre part, on sait que la première année, le molad de nissan est en avance de 191802 halaqim sur la teqoufa de nissan, et que chaque cycle la teqoufa gagne 1565 halaqim sur la molad. 5758 est 303 cycles après la première année. Donc l'avance de la teqoufa de Nissan vaut ${\displaystyle 1\,565\times 303-191\,802=282\,393}$ halaqim, soit 10 jours, 21 heures et 513 halaqim.

Une fois que l'on a la date civile et l'heure de la Teqoufa en 5776, année 1 du cycle, on peut utiliser un tableur ou un autre outil de calcul de dates civiles pour calculer la Teqoufa de 5776, 19^e année.

On ajoute ${\displaystyle 18\times 365{,}25=6\,574{,}5}$ jours. En ajoutant 6 574 jours au mercredi 8 avril 1998, on obtient le jeudi 7 avril. En ajoutant une demi-journée à 6 heures, on obtient 18 heures.

Même résultats qu'avec les méthodes précédentes.

La plus ancienne mention de la durée traditionnelle du molad se trouve dans le talmud^[14]. Rabban Gamliel mentionne l'existence d'une tradition qui lui permet de confondre les faux témoins.

« אמר להם ר"ג כך מקובלני מבית אבי אבא אין חדושה של לבנה פחותה מעשרים ותשעה יום ומחצה ושני שלישי שעה וע"ג חלקים »

« Rabban Gamliel leur dit : "Ainsi ai-je reçu de la maison de mes ancêtres : il n'y a pas de nouvelle lune de moins de 29 jours, une demi journée, deux tiers d'heure et 73 halaqim". »

Sachant que deux tiers d'heure valent 720 halaqim, on retrouve bien la longueur traditionnelle.

Cette formulation pose problème car la durée n'est pas présentée comme la valeur exacte d'une lunaison, ou la valeur moyenne, mais comme un minimum. Une valeur moyenne ne pourrait être utilisée pour confondre de faux témoins. De nombreuses études tendent à prouver que les valeurs précises du texte actuel résultent d'un ajout.

En revanche, tous les commentateurs ultérieurs, notamment Maïmonide dans sa lettre sur le calendrier^[15] utilisent cette valeur qui est extrêmement précise.

Traditionnellement, on calculait le calendrier année après année. Calculer le Molad de début d'année se faisait par une addition, un peu technique en raison des unités (heures, minutes, halaqim).

On ne peut pas adopter ce type de méthode pour des calculs informatiques ou des calendriers perpétuels.

Pour calculer le Molad de début d'une année, il suffit de calculer le nombre de mois depuis la création et de le multiplier par la longueur d'un mois lunaire.

Le nombre de mois augmente de 235 en 19 ans. Donc il est à peu près proportionnel à ${\displaystyle {\frac {235\times {\text{Année}}}{19}}}$.

On veut répartir 235 mois sur 19 années. Pour le faire d'une façon relativement régulière, il faut 12 années de 12 mois et 7 années de 13 mois. Les formules du type ${\displaystyle \lfloor {\frac {235\times {\text{Année}}-X}{19}}\rfloor }$ donnent toutes une solution valable.

On essaie les 19 valeurs possibles de X, et l'on met en évidence les années à 13 mois qui en résultent.

En prenant la valeur 6, on constate que cela correspond au cycle retenu par la tradition où les années 3, 6, 8, 11, 14, 17, 19 ont 13 mois.

Par ailleurs, la valeur 6 ne fait pas démarrer la première année au mois 0 mais 12. Pour ajuster, on utilise :

${\displaystyle \lfloor {\frac {235\times {\text{Année}}-6}{19}}\rfloor -12=\lfloor {\frac {235\times {\text{Année}}-6-12\times 19}{19}}\rfloor =\lfloor {\frac {235\times {\text{Année}}-234}{19}}\rfloor }$.

On peut vérifier qu'en appliquant ces formules dans le premier cycle de 19 ans, on retombe bien sur les nombres de mois attendus, et le numéro des mois est bien celui attendu.

La tradition rapporte que le premier Molad lors de la création eut lieu le vendredi à 14 heures, peu avant la création de l'homme.

Pourtant, ce n'est pas cette valeur que nous utilisons dans le calcul. En effet, la tradition dit également que l'année du déluge, les astres s'arrêtèrent dans le ciel. Aussi, pour les calculs, tout se passe comme si, si les astres ne s'étant pas arrêtés, le moment indiqué ci-dessus était à la fin de l'année 1 et non son début.

Nous retirons donc à cet instant la durée de 12 mois lunaires, soit 50 semaines, 4 jours, 8 heures et 876 halaqim.

4 jours avant vendredi, c'est lundi. 8 heures avant 14 heures, il est 6 heures, soit 5 heures et 1080 halaqim. Si l'on retire 876 halaqim, on trouve bien le moment initial utilisé dans le calcul : lundi à 5 heures et 204 halaqim, ou 57444 halaqim depuis le samedi à 0 heure.

Cette valeur est à utiliser pour les calculs, mais ne représente pas l'heure effective du premier Molad selon la tradition.

Pour des raisons religieuses, la fête de Yom Kippour, le 10 du mois, ne doit pas être accolée à un Shabbat, donc ne doit pas tomber un vendredi ou un dimanche. En conséquence, il est interdit d'avoir le premier du mois le mercredi ou le vendredi.

De même, la fête de Hoshanna Rabba, 21^e jour de l'année ne doit pas tomber un Shabbat. En conséquence, le premier jour de l'année ne peut pas être un dimanche.

Les sources traditionnelles expliquant le molad zaqen sont tardives, et donnent des explications légèrement différentes.

À l'époque où le calendrier était fondé sur l'observation, quand la lune se levait après 18 heures (qui en fait correspond à midi heure de Jérusalem), il était considéré que le constat de la nouvelle lune, le témoignage au sanhédrine, et la décision de déclarer le nouveau mois ne pouvaient se produire dans la journée. Donc le premier jour de l'année était forcément le jour suivant. Le système de calendrier calculé reprend ce décalage.

Les deux règles suivantes sont basées sur le principe que le calendrier doit rester simple. Ce qui veut dire que le nombre d'années possible doit rester limité.

Elles ont donc pour but d'éliminer les cas rarissimes où l'année ferait 356 ou 382 jours. Pour ne laisser que les durées de 353, 354, 355, et 383, 384, 385 jours.

Supposons que seules les deux premières Dekhyot existent. Dans une année à 12 mois, on peut calculer les caractéristiques de l'année en fonction du moment de la semaine où a lieu la nouvelle lune.

On prend comme limite des différents intervalles, les moments qui font changer soit la date de Roch Hachana en début d'année, soit la date de Roch Hachana en fin d'année.

Quand la nouvelle lune a lieu le mardi entre 9 heures et 204 halaqim et 18 heures, on a une durée atypique de 356 jours. On décale Roch Hachana à jeudi, pour revenir à 354 jours.

On peut faire le même calcul pour une année à 13 mois :

Quand le Molad est le mardi entre 18 heures et 20 heures 491 halaqim, alors le Molad de l'année suivante est le lundi entre 15 heures et 589 halaqim.

Cela donne un Roch Hachana un jeudi suivi d'un autre le lundi. Soit une année de 382 jours. C'est une durée atypique, trop courte.

On ne peut pas mettre Roch Hachana avant le Molad. Donc, pour rallonger l'année, on décale le Roch Hachana de l'année suivante à mardi. L'année a alors 383 jours.

Les Dekhyoth de type 3 et 4 sont très rares. Le type 3 se produit environ 3,3 % du temps, par exemple en 5745 (septembre 1984). Le type 4 se produit environ 0,5 % du temps, par exemple en 5766 (octobre 2005). Leur rareté justifie leur existence. Au prix d'un calcul plus compliqué, mais réservé à ceux qui ont la charge de calculer les années, on obtient un calendrier plus simple d'utilisation pour le reste des populations.

Il y a 54 parashas dans le pentateuque qu'il faut lire suivant un cycle d'un an. La 54^e est lue suivant le jour de Simhat Thora, donc la répartition est à organiser sur les 53 premières.

Les parashas se répartissent non pas sur une année calendaire, mais à cheval sur deux années. En effet, le cycle commence après Simhat Thora, et se termine avant Soukkot de l'année suivante. Simhat Thora est fêté le 22 Tishri en terre sainte et le 23 ailleurs. La fête de Soukkot commence le 15 de l'année suivante. Donc le cycle des parashas d'une année se prolonge sur les deux premières semaines de l'année qui suit.

Il y a lecture d'une ou deux parashas chaque Shabbat, sauf quand le Shabbat tombe pendant une fête biblique : Roch Hachana, Yom Kippour, Soukkot, Pessah ou Shavouot.

Les fêtes n'ont pas la même durée en terre sainte ou en dehors. En conséquence, il y a 28 cas à traiter : les 14 types d'années, et pour chacun, les deux lieux possibles.

Pour chacun de ces cas, il suffit de compter les shabbats éligibles à une lecture. C'est-à-dire les shabbats entre Simhat Thora de l'année et Soukkot de l'année suivante, qui ne se tombent pas pendant une fête biblique. On en déduit le nombre de jumelages. Pour choisir les jumelages, on doit se référer à des principes traditionnels.

La tradition énonce 4 principes pour répartir les parashas :

1. La parasha Tsav, numéro 25, doit être lue avant Pessah dans les années à 12 mois
2. La parasha Bamidbar, numéro 34 doit être lue avant Shavouot.
3. La parasha Vaethanan, numéro 45 doit être lue après Tisha beAv
4. La parasha Nitsavim, numéro 51 , doit être lue avant Roch Hachana

Pour atteindre ces objectifs, il y a une liste de couples de parashas que l'on peut jumeler :

À ces règles, il faut en ajouter une de simple bon sens : Pour décider des parashas du début d'année, avant soukkot, il serait dommage d'avoir à regarder le type de l'année précédente. Pour éviter cela, on se contente d'éviter les jumelages en début d'année. Autrement dit, si deux années se terminent un même jour de la semaine, elles doivent se terminer par une même parasha qui dépend du début de l'année suivante.

Pour les shabbats du début de l'année, avant Simhat Thora, on peut utiliser deux méthodes :

• Se référer à la fin du cycle de l'année précédente, ce qui nécessite de connaître son type. Meilleure méthode quand on calcule le calendrier de proche en proche.
• Le faire directement en analysant le début d'année. Sachant qu'il n'y a pas de jumelage en début d'année, chaque shabbat éligible contient une parasha.

On calcule le nombre de shabbats éligibles en fonction du jour de Roch Hachana. S'il n'y en a qu'un, on lui attribue la parasha 53, Haazinou. S'il y en a deux, le premier se voit attribuer la parasha numéro 52, Vayelekh.

On retrouve en résumé le tableau utilisé ci-dessous.

Contrôle de cohérence : Quand l'année commence un lundi ou un mardi, pessah tombe un samedi ou un dimanche l'année précédente. Le type de l'année précédente se termine donc par

ז ou א. On constate bien dans le tableau des jumelages que pour ces années, Vayelekh n'est jamais jumelé avec la parasha qui précède.

Le calcul dépend à la fois du type d'année parmi les 14 existants (et le 15^e théorique) et du fait d'être en terre sainte ou en dehors, puisque le nombre de jours de fête est inférieur en terre sainte.

Ce tableau récapitule pour chacun des 30 couples (type, lieu), les propriétés des différents jours fériés, avec leur numéro dans l'année et le jour de semaine correspondant.

Dans les tableaux qui suivent, le 9 av est à part : quand il tombe un shabbat, on peut y lire la parasha, ce qui n'est pas le cas pour les autres fêtes.

À partir de là, on peut calculer le nombre de shabbat éligible de chaque période, et le nombre de jumelage à effectuer pour atteindre les 53 lectures.

On va à partir de là, faire des tableaux comptant le nombre de sections lues du début de l'année jusqu'à une certaine fête. Dans chacun de ces tableaux, on mettra en gras, les cases qui vont déclencher un jumelage. On part d'une situation où aucun jumelage n'a été décidé, et donc le nombre de lectures est égal au nombre de shabbats éligibles.

À ce stade, on ne sait pas quels couples de parashas jumeler.

Regardons alors la première règle : La parasha Tsav, numéro 25, doit être lue avant Pessah dans les années à 12 mois.

Cela concerne les 6 premiers types d'années, pour lesquelles on constate qu'il y a 24 shabbats éligibles avant Pessah. Les cases correspondantes sont en gras dans le tableau ci-dessus.

Pour ces années-là, on jumelle donc les parashas 22 et 23 (Vayyaqhel et Peqoudé).

Et l'on obtient le tableau suivant, où l'on a systématiquement au moins 25 lectures avant Pessah.

Regardons à présent la seconde règle : La parasha Bamidbar, numéro 34 doit être lue avant Shavouot.

On constate que pour toutes les années à 12 mois, il manque 3 parashas, sauf pour הכז en terre sainte où il en manque 2. Pour compléter, on jumelle les couples de parashas 27 et 28 (Tazria' et Metsora'), 29 et 30 (Aharé mot et Qedoshim), et si nécessaire 32 et 33 (Behar e Behouqqotay) dans toutes les colonnes correspondant aux cases en gras ci-dessus.

On obtient le tableau suivant pour les lectures cumulées :

À présent, regardons la troisième règle : La parasha Vaethanan, numéro 45 doit être lue après Tisha beAv. Autrement dit, la parasha 44 (Bo) doit être lue avant le 9 av, ou le 9 av s'il tombe d'un shabbat.

Donc les jumelages doivent faire en sorte que la ligne "Jusqu'au 9 av" dans le tableau ci-dessus soit à 44 tout le temps. Il faut donc au moins un jumelage dans les cas où la case du tableau est en gras.

Dans le cas le plus fréquent d'un seul jumelage, il s'agit des parashas 42 et 43 (Mattot et Mas'e). Dans les 2 cas, זשה et בחה hors de terre sainte, où il faut deux jumelages, il s'agit des parashas 39 et 40 (Houqat et Balaq).

On obtient alors le tableau suivant :

Intéressons-nous maintenant a la quatrième règle : La parasha Nitsavim, numéro 51, doit être lue avant Roch Hachana. Elle est une conséquence automatique de la règle précédente. En effet, il y a toujours 7 shabbats entre le 9 av et Roch Hachana. Donc, si on lit la parasha 45 juste après Tisha be'av, on lira la parasha 51 juste avant Roch Hachana. Il est même certain, que la véritable règle originelle soit celle-ci, et que la troisième règle ne soit qu'une recette pour assurer que la quatrième soit respectée.

Il reste enfin à assurer la transition vers la fin du cycle en début d'année. Pour éviter d'avoir des jumelages en début d'année, difficiles à décrire, on rajoute un jumelage si nécessaire juste avant Roch Hachana pour assurer que la dernière ligne du tableau soit entièrement peuplée de 53.

Quand la dernière ligne contient 52, on jumelle les parashas 51 et 52. Il s'agit des années dont le nom se termine par ג ou ה, qui correspondent à une année suivante qui démarre un samedi ou un jeudi. On retrouve la conclusion du chapitre précédent : les années commençant un samedi ou un jeudi, il y a une seule parasha à lire en début d'année, avant soukkot.

En synthèse, on retrouve le tableau du chapitre Repartition des sections de la thora :

Autant le calcul du mois lunaire est fait sur une tradition univoque, et dont la précision astronomique est impressionnante, autant le traitement de l'année solaire par la tradition donne plus de part à la simplicité des calculs qu'à leur précision. Cette imprécision n'a que peu d'impact sur la vie religieuse, puisque la date de Pâque se situe toujours après l'équinoxe de printemps réel.

Il y a deux traditions. La première, transmise par Rav Ada, considère que l'année solaire est strictement égale à l'année lunaire moyenne, c'est-à-dire ${\displaystyle {\frac {235\times 765\,433}{19}}}$halaqim, soit 365 jours, 5 heures, 997 halaqim et ${\displaystyle {\frac {12}{19}}}$ de heleq. L'écart entre 2 teqoufot étant un quart de l'année, soit 13 semaines 7 heures 519 helaqim et ${\displaystyle {\frac {31}{19\times 4}}}$de heleq. Cette valeur n'est évidemment pas exacte, mais elle n'a pas non plus l'avantage de la simplicité, puis qu'elle nécessite de manipuler des valeurs fractionnaires de heleq. Elle a le mérite de ne laisser en moyenne aucun décalage entre les molad et les teqoufot.

Quand on fait les calculs avec la tradition de Rav Ada, on utilise une unité adhoc le rega' (instant) qui vaut ${\displaystyle {\frac {1}{78}}}$ de heleq.

L'autre tradition qui est utilisée en pratique est celle de Chmouel qui prend pour la valeur de l'année, 365 jours et quart. Ce qui donne un espace entre les teqoufot de 13 semaines et 7 heures et demie.

Comme pour le molad de tishri de la première année, la teqoufa de nissan de la première année utilisée dans les calculs ne correspond pas exactement à la réalité décrite par la tradition. Toujours pour les mêmes raisons : pendant l'année du déluge, les astres n'ont pas bougé, et les valeurs utilisées pour l'année 1 correspondent en fait à une année hypothétique avant la création du monde.

Dans cette année, on sait que le molad de tishri a eu lieu un lundi à 5 heures et 204 halaqim (soit 57444 halaqim). Le molad de nissan a donc lieu 6 mois lunaires plus tard soit exactement 177 jours plus tard, un mercredi à 9 heures et 642 halaqim.

Cela permet de calculer l'instant de la Teqoufa de nissan, dont on sait qu'elle a eu lieu le mercredi précédent le molad, à 0 heure.

On retrouve bien les valeurs données dans la méthode de calcul des Teqoufot.

Le cycle métonique de 19 ans est appelé dans la littérature religieuse juive le petit cycle. L'année 5776 (2015/2016) est la dernière année d'un cycle de 19 ans.

Il existe un autre cycle lié au Soleil et au calcul des équinoxes. Ce cycle dure 28 ans.

Le calcul des équinoxes prend pour hypothèse que le premier équinoxe de printemps fut un mercredi à 0 heure. Pour les besoins du calcul, on considère que cet évènement eu lieu en nissan de l'année 1.

La durée retenue pour l'année solaire étant de 365 jours et 6 heures (soit un nombre entier de semaine plus un jour et quart), il est facile de voir que sur une période de 28 ans, l'équinoxe se retrouve au même moment de la semaine.

C'est le moment de la bénédiction du soleil. Le cycle actuel a commencé en 5769 (2008/2009). L'équinoxe de printemps, selon la tradition avait alors eu lieu le 14 nissan/8 avril.

De manière générale, tous les 28 ans, les 4 teqoufot se retrouvent au même instant de la semaine. Pour les calculer, il suffit d'ajouter 7 heures et demie à la Teqoufa précédente, et s'arranger pour que la Teqoufa de Nissan de la première année soit un mercredi à 0 heure. Le tableau contient une 29^e ligne pour vérifier qu'elle est bien identique à la première.

L'année 5776 correspond à la 8^e année d'un grand cycle. On vérifie que les valeurs soulignées du tableau coïncident avec les exemples calculés ci-dessus.

Ces dates ne correspondent à aucun événement astronomique. D'une part parce que la notion de semaine n'est pas basée sur le mouvement des astres. Mais également parce que la durée de l'année solaire retenue par la tradition, contrairement à la durée du mois lunaire, n'est pas très précise.

Tous les 7 ans a lieu la chemitta, une forme de jachère, qui ne concerne que la terre sainte. L'année 5775 (2014-2015) était une année de chemitta ; l'année 5782 (2021-2022) était donc aussi une année de chemitta.

Le cycle métonique de 19 ans ne porte que sur le nombre de mois. Mais deux cycles métoniques n'ont en général pas les mêmes caractéristiques. En revanche, on peut se demander s'il existe un plus grand cycle tel que le calendrier se répète à l'identique (mêmes jours de la semaine pour Roch Hachana, et mêmes nombres de jour).

Si un tel grand cycle existe, il est forcément un multiple de 19 ans, sinon, les nombres de mois ne seront pas identiques les 19 premières années du deuxième grand cycle.

Or, la durée d'un cycle de 19 ans est de 235 mois (12 années de 12 mois et 7 années de 13 mois). La durée de 235 mois lunaires est de 235×765 433=179 876 755 halaqim, soit 991 semaines et 69 715 halaqim.
Donc au début de deux cycles de 19 ans consécutifs, la nouvelle lune est décalée de 69 715 halaqim (2 jours, 16 heures et 595 halaqim).

Pour que le calendrier se répète, il faut qu'au bout d'un certain nombre de cycles, la nouvelle lune se décale d'un nombre entier de semaines. Ainsi, la nouvelle lune tombera au même moment de la semaine au début d'un grand cycle et au début du grand cycle suivant, et tous les calculs année par année seront identiques.

Il faut donc trouver le plus petit multiple de 69 715 qui soit un multiple la durée d'une semaine (7×1080×24=181 440 halaqim). Mathématiquement, cela revient à trouver le PPCM de 69 715 et 181 440 qui vaut 69 175×36 288. Le calendrier se répète donc au bout de 36 288 cycles de 19 ans.
Le calendrier se répète donc au bout de 689 472 années. Cette information est une curiosité mathématique sans intérêt religieux.

On trouve parfois dans certains livres un cycle de 247 ans (13 cycles de 19 ans). Il n'est qu'approximatif. En effet, en 13 cycles, la nouvelle lune se décale de moins d'une heure (905 halaqim). Il est facile de trouver des exemples illustrant que ce cycle ne se répète pas à l'identique. Par exemple, les années 5601 et 5848, séparées de 247 ans n'ont pas leur premier jour au même moment de la semaine.

Un rabbin français du Moyen Âge, Itzhaq Ben Avraham, a remarqué qu'en connaissant le molad au début d'un cycle de 19 ans, on peut en déduire tous les types des 19 années du cycle.

Moyennant quelques calculs, il a prouvé qu'il y a exactement 61 cycles possibles de 19 années caractérisées par leur type^{[n 8]}.

Dans l'image ci-contre, chaque ligne représente l'un de ces 61 cycles. Pour chaque année du cycle, on indique l'intervalle de temps pour le molad de l'année, le jour de semaine de Roch Hachana en début d'année, et le type de l'année (qui dépend de Roch Hachana de l'année, et de l'année suivante). La 20^e année, qui est en fait la première du cycle suivant est nécessaire, car le jour de Roch Hachana influe le type de la 19^e année.

On indique en bleu, les Roch Hachana et les types qui ont changé par rapport au cycle précédent.

Ce tableau permet de rapidement construire des calendriers sur une longue période.

On a vu que la durée du mois lunaire donnée par la tradition est de 29 jours 12 heures et 793 halaqim, soit 765433 halaqim.

Cette valeur est très précise, puisque la valeur de la lunaison mesurée aujourd'hui vaut 29 jours 12 heures 44 minutes et 2,8 secondes, c'est-à-dire 29 jours 12 heures et 792,84 halaqim ou 765432,84 halaqim. La valeur traditionnelle est la plus précise possible compte tenu du système d'unités. L'erreur est de 0,16 halaqim, soit 0,5333 secondes par mois.

La durée moyenne d'une année hébraïque est de : ${\displaystyle {\frac {235}{19}}}$ lunaisons. L'erreur est donc de 6,5965 secondes par an en moyenne.
Sur 100 ans, le décalage est de 11 minutes ; sur 1000 ans, il est de 1 heure 49 minutes et 56,5 secondes. L'objectif étant de calculer des jours, cette marge d'erreur est absolument négligeable.

Il est très important du point de vue religieux que le mois du calendrier hébraïque suive de très près les cycles lunaires. Il est facile d'observer que les débuts de mois juifs correspondent d'assez près à la nouvelle lune. Cela est dû à l'extraordinaire précision de la durée du cycle lunaire adoptée par la tradition.

En revanche, l'adéquation entre l'année juive et l'année solaire n'a pas la même importance. Ce qui compte est que la fête de Pessah tombe toujours au printemps. Pour cela, il suffit que l'année soit en moyenne un peu plus longue que l'année solaire.

On peut donc comparer les années suivantes, classées ici par longueur décroissante :

• L'année solaire définie par Shmuel. Il se trouve que c'est la même longueur que l'ancien calendrier julien.
• L'année moyenne du calendrier hébraïque moyenne (qui est aussi l'année solaire définie par Rav Ada)
• L'année grégorienne du calendrier civil, qui est une très bonne approximation de l'année solaire réelle.
• L'année solaire réelle. Il faut prendre celle qui conditionne le cycle des saisons, qui est l'année tropique.

La durée de l'année solaire définie par la tradition est de 365 jours et 6 heures, ou 365,25 jours.

19 années juives durent 235 mois lunaires. La durée d'un cycle métonique est en moyenne de ${\displaystyle {\frac {235\times 765\;433}{24\times 1\;080}}=6\;939{,}689\;622}$ jours. La durée d'une année est donc de ${\displaystyle {\frac {235\times 765\;433}{24\times 1\;080\times 19}}=365{,}246\;822\;2}$ jours.

Cette durée peut également être exprimée sous la forme de 365 jours, 5 heures et 997,6316 halaqim (356 j, 5 h, 55 min et 25,4 s).

Enfin, l'année grégorienne fait 365 jours, avec un jour supplémentaire toutes les années qui sont multiples de 4, sauf les multiples de 100, mais en incluant les multiples de 400. Autrement dit, en 400 ans, il y a 97 journées supplémentaires. La durée moyenne est de ${\displaystyle 365+{\frac {97}{400}}=365{,}242\;5}$ jours.

La durée de l'année solaire dite tropique est actuellement de 365,242 190 4 (soit 365 j, 5 h, 48 min et 45,25 s).

Ces valeurs ne sont que des moyennes qui n'ont de sens que sur de longues période. En résumé :

On peut comparer ces différentes années du point de vue du décalage au bout d'une année, ou du nombre d'années nécessaires pour avoir un décalage d'un jour.

Sur la colonne de gauche, les années les plus longues, sur la première ligne, les années les plus courtes.

On constate que l'année hébraïque prend du retard sur l'année de solaire de Shmuel, et que Pâque finira par se retrouver de plus en plus fréquemment avant l'équinoxe de printemps défini par la tradition..

En revanche, l'année hébraïque prend de l'avance sur l'année tropique, et il n'y a aucun risque de voir Pâque fêtée trop tôt, par rapport à l'équinoxe de printemps réel.

L'année juive avance en moyenne de 6 min et 40,18 s sur l'année solaire réelle, et gagne 1 journée tous les 215 ans.

On constate que le calendrier grégorien est beaucoup plus précis par rapport à l'année solaire que l'année juive, mais il n'a aucun lien avec les mois lunaires.

Afin de comparer les variations du cycle de Méton avec des années régulières, on va comparer la durée cumulée des différentes années avec les 3 années moyennes : l'année tropique, l'année de Shmuel, et l'année de Rav Ada.

On peut imaginer que cela correspond à une situation où dans la dernière année du cycle précédent, l'équinoxe de printemps (Teqoufa de nissan) est synchronisé avec le molad de nissan. On mesure alors l'avance ou le retard du Molad de nissan chaque année du cycle par rapport à la Teqoufa.

Quel que soit le type d'année de comparaison, la huitième année du cycle est celle où le molad a le plus d'avance. C'est donc celle où la fête de Pessah est la plus tardive. En revanche, lors de la 16^e année, le molad est très tôt par rapport à l'équinoxe.

À titre d'exemple, dans le cycle courant, et en considérant que le calendrier grégorien est une excellente approximation de l'année solaire, on constate que :

• dans la 8^e année, en 5765, Pessah tombe le 24 avril 2005
• dans la 16^e année, en 5773, Pessah tombe le 26 mars 2013

Dans le dernier cas, on constate que la fête de Pessah tombe après l'équinoxe de printemps réel (autour du 21 mars), en revanche, il tombe avant la Teqoufa de nissan traditionnelle qui est le 6 avril 2013 à 0 heure, soit 13 jours plus tard.

Du fait que le calendrier prend de l'avance régulière sur l'année solaire réelle, on peut être certain que Pessah restera toujours au printemps (voire en été si on attend suffisamment longtemps).

En revanche, le retard vis-à-vis de l'équinoxe traditionnel va s'accumuler.

La détermination du type d'année dépend de deux Roch Hachana consécutifs. Chaque Roch Hachana dépend du molad et du nombre de mois de l'année, et de l'année qui précède. Quand on connait le nombre de mois de l'année, et le molad en début d'année, on connait le molad suivant.

Donc on peut déterminer le type d'une année en connaissant le nombre de mois de l'année, de celle qui précède, de celle qui suit, et l'instant du molad en début d'année.

Il y a quatre combinaisons possibles pour les nombres de mois, et on connait les années correspondantes dans le cycle de Méton :

Pour chacune de ces combinaisons, on peut déterminer les molads qui font changer Roch Hachana soit en début d'année, soit en fin d'année.

Ainsi, on connait les intervalles de temps qui déterminent les différents types d'années.

Dans les 4 prochains tableaux, les Molads en gras sont ceux qui déclenchent un changement de Roch Hachana. L'autre molad de la même ligne est alors une simple conséquence.

Parfois, il y a deux molads en gras dans la même ligne. Cela correspond aux Dekhyoth 3 et 4, quand un changement de Molad déclenche un changement dans le molad précédent ou suivant.