La mise en forme de cet article est à améliorer (janvier 2025).

La mise en forme du texte ne suit pas les recommandations de Wikipédia : il faut le « wikifier ».

Comment faire ?

Les points d'amélioration suivants sont les cas les plus fréquents. Le détail des points à revoir est peut-être précisé sur la page de discussion.

• Les titres sont pré-formatés par le logiciel. Ils ne sont ni en capitales, ni en gras.
• Le texte ne doit pas être écrit en capitales (les noms de famille non plus), ni en gras, ni en italique, ni en « petit »…
• Le gras n'est utilisé que pour surligner le titre de l'article dans l'introduction, une seule fois.
• L'italique est rarement utilisé : mots en langue étrangère, titres d'œuvres, noms de bateaux, etc.
• Les citations ne sont pas en italique mais en corps de texte normal. Elles sont entourées par des guillemets français : « et ».
• Les listes à puces sont à éviter, des paragraphes rédigés étant largement préférés. Les tableaux sont à réserver à la présentation de données structurées (résultats, etc.).
• Les appels de note de bas de page (petits chiffres en exposant, introduits par l'outil «  Source ») sont à placer entre la fin de phrase et le point final^{[comme ça]}.
• Les liens internes (vers d'autres articles de Wikipédia) sont à choisir avec parcimonie. Créez des liens vers des articles approfondissant le sujet. Les termes génériques sans rapport avec le sujet sont à éviter, ainsi que les répétitions de liens vers un même terme.
• Les liens externes sont à placer uniquement dans une section « Liens externes », à la fin de l'article. Ces liens sont à choisir avec parcimonie suivant les règles définies. Si un lien sert de source à l'article, son insertion dans le texte est à faire par les notes de bas de page.
• La présentation des références doit suivre les conventions bibliographiques. Il est recommandé d'utiliser les modèles {{Ouvrage}}, {{Chapitre}}, {{Article}}, {{Lien web}} et/ou {{Bibliographie}}. Le mode d'édition visuel peut mettre en forme automatiquement les références.
• Insérer une infobox (cadre d'informations à droite) n'est pas obligatoire pour parachever la mise en page.

Pour une aide détaillée, merci de consulter Aide:Wikification.

Si vous pensez que ces points ont été résolus, vous pouvez retirer ce bandeau et améliorer la mise en forme d'un autre article.

Dans les mathématiques des nombres transfinis, un cardinal ineffable est un certain type de grand nombre cardinal, introduit par Jensen & Kunen (1969) . Dans les définitions suivantes, ${\displaystyle \kappa }$ sera toujours un nombre cardinal régulier indénombrable .

Un nombre cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est dit presque ineffable si pour chaque ${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$ (où ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )}$ est l' ensemble de puissance de ${\displaystyle \kappa }$ ) avec la propriété que ${\displaystyle f(\delta )}$ est un sous-ensemble de ${\displaystyle \delta }$ pour tous les ordinax ${\displaystyle \delta <\kappa }$, il existe un sous-ensemble ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle \kappa }$ ayant une cardinalité ${\displaystyle \kappa }$ et homogène pour ${\displaystyle f}$, dans le sens où pour tout ${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ dans ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$ .

Un nombre cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est dit ineffable si pour chaque fonction à valeur binaire ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, il existe un sous-ensemble stationnaire de ${\displaystyle \kappa }$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est homogène : c'est-à-dire, soit ${\displaystyle f}$ mappe toutes les paires non ordonnées d'éléments tirés de ce sous-ensemble à zéro, ou il mappe toutes ces paires non ordonnées à un. Une formulation équivalente est qu'un cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est ineffable si pour toute séquence ${\displaystyle \langle A_{\alpha }:\alpha \in \kappa \rangle }$ de telle sorte que chaque ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$, il y a ${\displaystyle A\subseteq \kappa }$ tel que ${\displaystyle \{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$ est stationnaire dans κ .

Une autre formulation équivalente est qu'un cardinal régulier indénombrable ${\displaystyle \kappa }$ est ineffable si pour tout ensemble ${\displaystyle S}$ de cardinalité ${\displaystyle \kappa }$ de sous-ensembles de ${\displaystyle \kappa }$, il existe une normale (c'est-à-dire fermée sous l'intersection diagonale ) non triviale <span about="#mwt80" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;\\kappa&quot;}}" id="10" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa }</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle \kappa }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:1.676ex;"></span> -filtre complet ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sur ${\displaystyle \kappa }$ décider ${\displaystyle S}$ : c'est-à-dire pour tout ${\displaystyle X\in S}$, soit ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ou ${\displaystyle \kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}}$^[1]. Ceci est similaire à une caractérisation des cardinaux faiblement compacts .

Plus généralement, ${\displaystyle \kappa }$ s'appelle ${\displaystyle n}$ -ineffable (pour un entier positif ${\displaystyle n}$ ) si pour chaque ${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}}$ il existe un sous-ensemble stationnaire de ${\displaystyle \kappa }$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle n}$ - homogène (prend la même valeur pour tous les éléments non ordonnés) ${\displaystyle n}$ -tuples tirés du sous-ensemble). Ainsi, il est ineffable si et seulement s’il est 2-ineffable. L'ineffabilité est strictement plus faible que la 3-ineffabilité. ^{p. 399}

Un cardinal totalement ineffable est un cardinal qui est ${\displaystyle n}$ -ineffable pour tout ${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$ . Si ${\displaystyle \kappa }$ est ${\displaystyle (n+1)}$ -ineffable, alors l'ensemble des ${\displaystyle n}$ - cardinaux ineffables ci-dessous ${\displaystyle \kappa }$ est un sous-ensemble stationnaire de ${\displaystyle \kappa }$ .

Chaque ${\displaystyle n}$ -le cardinal ineffable est ${\displaystyle n}$ -presque ineffable (avec un ensemble de ${\displaystyle n}$ -presque ineffable en dessous de lui stationnaire), et chaque ${\displaystyle n}$ -presque ineffable est ${\displaystyle n}$ -subtil (avec un ensemble de ${\displaystyle n}$ -subtile en dessous stationnaire). Le moins ${\displaystyle n}$ -le cardinal subtil n'est même pas faiblement compact (et contrairement aux cardinaux ineffables, le moins ${\displaystyle n}$ -presque ineffable est ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$ -descriptible), mais ${\displaystyle (n-1)}$ -des cardinaux ineffables sont stationnaires en dessous de chaque ${\displaystyle n}$ -cardinal subtil.

Un cardinal κ est complètement ineffable s'il existe un non-vide ${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$ tel que - chaque ${\displaystyle A\in R}$ est stationnaire - pour chaque ${\displaystyle A\in R}$ et ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, il y a ${\displaystyle B\subseteq A}$ homogène pour f avec ${\displaystyle B\in R}$ .

En utilisant n'importe quel nombre fini ${\displaystyle n}$ > 1 à la place de 2 conduirait à la même définition, donc les cardinaux complètement ineffables sont totalement ineffables (et ont une plus grande force de cohérence ). Les cardinaux complètement ineffables sont ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ -indescriptible pour tout n, mais la propriété d'être complètement ineffable est ${\displaystyle \Delta _{1}^{2}}$ .

La force de cohérence des cardinaux complètement ineffables est inférieure à celle des cardinaux 1-itérables, qui à leur tour sont inférieurs à ceux des cardinaux remarquables, qui à leur tour sont inférieurs aux cardinaux ω-Erdős . Une liste des grands axiomes cardinaux par force de cohérence est disponible dans la section ci-dessous.

• Liste des grandes propriétés cardinales

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ineffable cardinal » (voir la liste des auteurs).

• Harvey Friedman, Subtle cardinals and linear orderings, vol. 107, 2001, 1–34 p. (DOI 10.1016/S0168-0072(00)00019-1)
• Ronald Jensen et Kenneth Kunen, Some Combinatorial Properties of L and V, Unpublished manuscript, 1969 (lire en ligne)

• Portail des mathématiques
• Arithmétique et théorie des nombres