En informatique théorique, co-NP (ou coNP) est une classe de complexité, c'est-à-dire un ensemble de problèmes de décision au sens de la théorie de la complexité. C'est la classe complémentaire (au sens de la complexité) de la classe NP.
Définitions
[modifier | modifier le code]On donne deux définitions équivalentes.
À partir de NP
[modifier | modifier le code]co-NP est l'ensemble des langages qui ont pour complémentaire (au sens des langages) un langage de NP.
Une autre façon de voir est que co-NP est l'ensemble des langages pour lesquels une preuve vérifiable en temps polynomial peut prouver la non-appartenance du mot au langage (des contre-exemples).
Par certificat
[modifier | modifier le code]On peut définir la classe coNP en utilisant des certificats[1]. Sur un alphabet , un langage est dans co-NP, s'il existe un polynôme et une machine de Turing en temps polynomial , tels que pour un mot , on a équivalence entre et le fait que pour tout certificat , la machine accepte l'entrée .
Problèmes co-NP-difficiles
[modifier | modifier le code]Comme pour la classe NP, on définit la notion de problème co-NP-difficile. Un problème est co-NP-difficile si tout problème co-NP s'y réduit en temps polynomial. Un problème est co-NP-complet s'il est dans co-NP et il est co-NP-difficile.
Exemples
[modifier | modifier le code]De tout problème dans NP, on peut construire un problème « dual » dans co-NP.
| Problème dans NP | Problème complémentaire dans coNP |
|---|---|
| le problème SAT : étant donné une formule booléenne, existe-t-il une assignation de ses variables qui la rend vraie ? | étant donné une formule booléenne, est-elle fausse pour toute assignation de ses variables[2] ? (même si on considère plutôt le problème de la validité qui est inter-réductible au problème précédent : étant donné une formule booléenne, est-elle vraie pour toutes les assignations de ses variables[2] ?) |
| le problème du chemin hamiltonien : étant donné un graphe G, existe-t-il un chemin hamiltonien ? | le problème de la non-existence d'un chemin hamiltonien : étant donné un graphe G de n nœuds et m arcs, est-il vrai qu'aucune combinaison de n arcs parmi m ne constitue un chemin hamiltonien? |
| le problème de la clique : étant donné un graphe G et un entier k, existe-t-il une clique de taille k dans G ? | le problème de la non-clique : étant donné un graphe G et un entier k, est-il vrai que G ne possède pas de clique de taille k ? |
Liens avec les autres classes
[modifier | modifier le code]La question co-NP = NP est une question ouverte mais il est conjecturé que ces classes sont différentes[3]. Si P = NP, alors NP = co-NP mais la réciproque n'est pas connue.
On sait que , mais l'égalité est une question ouverte. Le problème du test de primalité est connu pour être dans NP et co-NP, mais on pensait généralement qu'il n'était pas dans P ; jusqu'à ce qu'en 2002 on démontre qu'il est dans P (Théorème AKS).
Dans la hiérarchie polynomiale, co-NP correspond au premier étage existentiel : co-NP = .
Co-NP-complet
[modifier | modifier le code]En théorie de la complexité, un problème est dit co-NP-complet s'il est co-NP et si tout problème co-NP est réductible en temps polynomial à lui. Autrement dit, c'est la classe des problèmes complets correspondant à co-NP. Tout problème co-NP-complet est le complémentaire d'un problème NP-complet.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity : A Modern Approach, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-42426-7), chap. 2.6 (« co-NP, EXP and NEXP »)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (fr) Maths Adulte La Rochelle université : Le résultat qui sème le doute
- (en) La classe co-NP sur le Complexity Zoo
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Co-NP-complet » (voir la liste des auteurs).
- Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 2.2 (« Temps non-déterministe ») Proposition 2-BA, p. 62.
- (en) Papadimitriou, Computational Complexity, Addison Wesley, , p. 220.
- (en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity : A Modern Approach, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-42426-7), chap. 2.6 (« co-NP, EXP and NEXP ») « What have we learned? ».
