En théorie algébrique des nombres, le conducteur d'une extension abélienne finie de corps locaux ou globaux fournit une mesure quantitative de la ramification dans l'extension. La définition du conducteur est liée à la réciprocité d'Artin.

Soit L/K une extension abélienne finie de corps locaux non-archimédiens. Le conducteur de L/K, noté ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$, est le plus petit entier non négatif n tel que le groupe unitaire supérieur

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}}$

est contenu dans N_L/K(L^×), où N_L/K est la norme et ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$ est l'idéal maximal de K^[1]. De manière équivalente, n est le plus petit entier tel que le morphisme d'Artin locale soit triviale sur ${\displaystyle U_{K}^{(n)}}$. Parfois, le conducteur est défini comme ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{n}}$ où n est comme ci-dessus^[2].

Le conducteur d'une extension mesure la ramification. Qualitativement, l'extension est non-ramifiée si, et seulement si, le conducteur est nul^[3], et elle est modérément ramifiée si, et seulement si, le conducteur est 1^[4]. Plus précisément, le conducteur calcule la non-trivialité des groupes de ramification supérieure : si s est le plus grand entier pour lequel le groupe de ramification supérieure G_s est non trivial, alors ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1}$^[5].

Le conducteur de L/K est également lié aux conducteurs d'Artin de caractères du groupe de Galois Gal(L/K). Plus précisément^[6],

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {ppcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

où χ varie sur tous les caractères complexes de Gal(L/K), ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }}$ est le conducteur d'Artin de χ, et ppcm est le plus petit commun multiple.

Le conducteur peut être défini de la même manière pour L/K une extension galoisienne finie non nécessairement abélienne de corps locaux^[7] Cependant, il ne dépend que de L^ab/K, l'extension abélienne maximale de K dans L, grace au théorème de limitation de norme, qui stipule que, dans cette situation^[8],[9].

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).}$

De plus, le conducteur peut être défini lorsque L et K sont autorisés à être légèrement plus généraux que locaux, à savoir s'il s'agit de corps valués complets avec un champ résiduel quasi-fini^[10].

Le conducteur d'une extension abélienne L/K de corps de nombres peut être défini, de manière similaire au cas local, à l'aide de la réciprocité d'Artin. Plus précisément, soit θ : I^m → Gal(L/K ) soit l'application globale d'Artin où le module m est un module définissant L / K ; on dit que la réciprocité d'Artin tient pour m si θ se factorise par le groupe de classes de rayons modulo (en) m. On définit le conducteur de L/K, noté ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$, le facteur commun le plus élevé de tous les modules pour lesquels la réciprocité est valable ; en fait, la réciprocité vaut pour ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$, c'est donc le plus petit de ces modules^{[11],[12],[13]}.

• Prenant comme base le corps des nombres rationnels, le théorème de Kronecker-Weber énonce qu'un corps de nombres algébriques K est abélien sur Q si et seulement s'il s'agit d'un sous-corps d'un corps cyclotomique ${\displaystyle \mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)}$, où ${\displaystyle \zeta _{n}}$ désigne une racine primitive n ième de l'unité^[14]. Si n est le plus petit entier pour lequel cela est vrai, le conducteur de K est alors n si K est fixe par conjugaison complexe et ${\displaystyle \infty }$ autrement.
• Soit ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$ où d est un entier sans carré. Alors^[15],

  ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{pour }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{pour }}d<0\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$ est le discriminant de ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$ .

Le conducteur global est le produit de conducteurs locaux^[16] :

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

Par conséquent, un nombre premier fini est ramifié dans L/K si, et seulement si, il divise ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$^[17]. Un premier infini v apparaît dans le conducteur si, et seulement si, v est réel et devient complexe dans L.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Conductor (class field theory) » (voir la liste des auteurs).
•  Emil Artin et John Tate, Class field theory, American Mathematical Society, 2009 (1^re éd. 1967) (ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155)
•  Henri Cohen, Advanced topics in computational number theory, vol. 193, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2000 (ISBN 978-0-387-98727-9)
•  Gerald Janusz, Algebraic Number Fields, vol. 55, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics », 1973 (ISBN 0-12-380250-4, zbMATH 0307.12001)
•  James Milne, Class field theory, v4.0, 2008 (lire en ligne)
•  Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory, vol. 322, Berlin, Springer-Verlag, 1999 (ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, zbMATH 0956.11021)
•  Jean-Pierre Serre, Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London, Academic Press, 1967 (ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701), « Local class field theory »

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