La constante de Sierpiński est la constante mathématique, habituellement notée K, définie par :

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{r_{2}(k) \over k}-\pi \ln n\right]}$

où r₂(k) est le nombre de représentations de k comme une somme de deux carrés d'entiers.

Sa valeur est :

${\displaystyle K=\pi \left(2\ln 2+3\ln \pi +2\gamma -4\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\right)\approx 2{,}584~98}$,

où γ désigne la constante d'Euler-Mascheroni et Γ la fonction gamma.

• Les 2000 premières décimales de la constante de Sierpiński, calculées par Simon Plouffe.
• (en) Eric W. Weisstein, « Sierpinski Constant », sur MathWorld (appelle par erreur « constante de Sierpiński » le nombre S = K/π)

• Arithmétique et théorie des nombres