Le développement décimal d'un nombre est une façon d'écrire un nombre réel en utilisant une suite ordonnée de chiffres de 0 à 9, suite finie ou non, éventuellement partitionnée par une virgule et, pour les nombres négatifs, précédée du signe "${\displaystyle -}$" . Tout nombre réel peut être représenté par une telle suite qui correspond à la décomposition de ce nombre en somme de puissances de dix, positives ou négatives, affectées des chiffres de cette suite : un développement décimal est donc une façon d'écrire un nombre en notation positionnelle de base dix.

Les nombres entiers non nuls, et plus généralement les nombres décimaux non nuls, ont plusieurs développements décimaux. On peut par exemple écrire le nombre deux comme ${\displaystyle 2}$ ou ${\displaystyle 2,000\dots }$ ou encore ${\displaystyle 1,9999\dots }$ Et écrire le nombre -4/10 comme ${\displaystyle -0,4}$ ou ${\displaystyle -0,4000\dots }$ ou encore ${\displaystyle -0,3999\dots }$

Les nombres rationnels non décimaux ont un seul développement décimal, et celui ci est illimité et périodique. Ainsi, par exemple, le développement décimal de 13/7 est ${\displaystyle 1,8571428571428\dots }$ , où la période "${\displaystyle 857142}$" se répète à l'infini.

Les nombres irrationnels ont un seul développement décimal et celui-ci est illimité et non périodique. Ainsi, par exemple, le développement décimal du nombre π commence par ${\displaystyle 3,141592653589793\dots }$

Tout nombre entier naturel comme relatif peut être écrit sous une forme qui semble naturelle, puisqu'elle est enseignée dès l'enfance^[1]. Cet enseignement transmet l'idée que le nombre s'écrivant ${\displaystyle 3827}$ se lit "trois mille huit cent vingt sept" et vaut ${\displaystyle 3\times 1000+8\times 100+2\times 10+7}$. Ce n'est que plus tard que cette affirmation sera précisée : cette égalité est valable parce que la notation utilisée est la notation positionnelle de base dix.

De façon plus générale et plus formelle, tout entier naturel ${\displaystyle n}$ peut se décomposer en une somme finie de puissances (positives ou nulle) de ${\displaystyle 10}$ affectées de coefficients entiers (positifs ou nuls) inférieurs ou égaux à ${\displaystyle 9}$ et s'écrire en notation positionnelle de base dix comme suit :

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{N}a_{i}10^{i}=a_{N}a_{N-1}\dots a_{1}a_{0}}$

Avec ${\displaystyle N}$ entier naturel, éventuellement nul, et ${\displaystyle a_{i}}$ entier naturel tel que ${\displaystyle 0\leqslant a_{i}\leqslant 9}$.

En outre, si on ajoute la condition que le premier coefficient de cette écriture (${\displaystyle a_{N}}$) ne peut être nul sauf si ${\displaystyle N=0}$^[2], cette décomposition et cette écriture sont uniques. Et la suite de chiffres ${\displaystyle a_{N}a_{N-1}\dots a_{1}a_{0}}$ est appelée développement décimal fini de ${\displaystyle n}$.

Attention : un nombre entier a aussi d'autres développements décimaux. Par exemple le nombre entier onze a un développement décimal fini qui s'écrit ${\displaystyle 11}$ qui est l'écriture abrégée de son développement propre illimité qui s'écrit ${\displaystyle 11,00000\dots }$^[3]. Et onze a en outre un développement impropre (illimité) qui s'écrit ${\displaystyle 10,9999\dots }$^[4].

Extension aux entiers négatifs : les développements décimaux d'un entier relatif négatif ${\displaystyle z}$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de ${\displaystyle z}$ précédés du signe "${\displaystyle -}$". Ainsi, par exemple : ${\displaystyle -11=-11,0000\dots =-10,9999\dots }$^[5].

Un nombre décimal est un nombre rationnel représentable par une fraction la forme ${\displaystyle {\frac {N}{10^{n}}}}$ où ${\displaystyle N}$ est un entier relatif et ${\displaystyle n}$ un entier naturel^[1]. De façon équivalente, un nombre décimal est aussi un nombre rationnel représentable par une fraction ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ où la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle q}$ ne comprend que les entiers premiers ${\displaystyle 2}$ et ${\displaystyle 5}$.

Tout nombre décimal possède un développement décimal fini^[6] comportant éventuellement des puissances de dix à exposant négatif et les exposants non nuls du développement de ${\displaystyle {\frac {N}{10^{n}}}}$ sont tous supérieurs ou égaux à ${\displaystyle -n}$.

Réciproquement, tout nombre possédant un développement décimal fini est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par une puissance de dix adéquate pour retomber sur un entier^[7].

Exemple :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1267}{625}}&={\frac {1267\times 16}{10000}}={\frac {2\times 10^{4}+2\times 10^{2}+7\times 10^{1}+2\times 10^{0}}{10^{4}}}\\&=2\times 10^{0}+2\times 10^{-2}+7\times 10^{-3}+2\times 10^{-4}\end{aligned}}}$

Et : ${\displaystyle 2{,}0272=20272\times 10^{-4}={\frac {1267}{625}}}$.

De façon plus formelle, un nombre ${\displaystyle x}$ est décimal si et seulement s'il a un développement décimal fini, c'est-à-dire qu'on peut le décomposer et l'écrire en base dix comme suit^[8] :

${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{N}a_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{M}c_{j}10^{-j}=a_{N}a_{N-1}}$…${\displaystyle a_{1}a_{0},c_{1}c_{2}}$…${\displaystyle c_{M-1}c_{M}}$

Avec :

${\displaystyle N}$ : entier naturel, éventuellement nul

${\displaystyle M}$ : entier naturel non nul

${\displaystyle a_{i}}$ : entier naturel tel que ${\displaystyle 0\leqslant a_{i}\leqslant 9}$

${\displaystyle c_{i}}$ : entier naturel tel que ${\displaystyle 0\leqslant c_{i}\leqslant 9}$

On remarque que cette formulation donne aussi le développement décimal fini des entiers, qui sont des décimaux "sans chiffre derrière la virgule", ou, de façon équivalente, chez lesquels ${\displaystyle M=1}$ et ${\displaystyle c_{1}=0}$.

Attention, un nombre décimal non nul a aussi un autre développement décimal illimité dénommé "développement impropre"^[6]. Ainsi, par exemple^[9]:

• le nombre entier onze a un développement décimal fini qui s'écrit ${\displaystyle 11}$. Ce développement fini est l'écriture abrégée de son développement propre illimité qui s'écrit ${\displaystyle 11,00000\dots }$^[3]. Onze a en outre un développement impropre (illimité) qui s'écrit ${\displaystyle 10,9999\dots }$
• le décimal 12/10 a un développement décimal fini qui s'écrit ${\displaystyle 1,2}$ ainsi qu'un développement propre illimité qui s'écrit ${\displaystyle 1,20000}$... et un développement impropre (illimité) qui s'écrit ${\displaystyle 1,19999\dots }$

Extension aux décimaux négatifs : comme pour les entiers, les développements décimaux d'un nombre décimal négatif ${\displaystyle z}$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de ${\displaystyle z}$ précédés du signe "${\displaystyle -}$". Ainsi, par exemple : ${\displaystyle -{\frac {12}{10}}=-1,2=-1,20000\dots =-1,19999\dots }$ ^[5].

Le développement décimal d'un nombre rationnel non nul peut être calculé pas à pas à partir de sa représentation en fraction irréductible ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ en faisant la division euclidienne de ${\displaystyle p}$ par ${\displaystyle q}$^[10] :

• si la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle q}$ ne contient que des puissances de ${\displaystyle 2}$ et de ${\displaystyle 5}$, alors le nombre est décimal, et cette méthode permet, en un nombre fini d'étapes, de trouver le développement décimal fini de ce rationnel ;
• si la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle q}$ contient des puissances de nombres premiers autres que ${\displaystyle 2}$ et ${\displaystyle 5}$, alors le rationnel n'est pas décimal et ce processus (ou cet algorithme) n'a pas de fin. En effet le développement décimal d'un rationnel non décimal est illimité et périodique : après un certain rang derrière la virgule, il est composé de la répétition à l'infini d'une même séquence de chiffres non tous nuls, appelée période^[11].

Ainsi, par exemple :

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0,{\underline {6}}66666\dots }$ : la période "${\displaystyle 6}$" se répète à l'infini

${\displaystyle {\frac {13}{7}}=1,{\underline {857142}}8571428\dots }$ : la période "${\displaystyle 857142}$" se répète à l'infini

La période n'apparait pas toujours immédiatement après la virgule mais, dans certains cas, seulement à partir d'un certain rang. Par exemple : ${\displaystyle {\frac {83}{70}}=1{,}1{\underline {857142}}85\dots }$

Et tout nombre décimal possède un développement décimal illimité de période ${\displaystyle 0}$, comme ${\displaystyle {\frac {12}{10}}=1,2{\underline {0}}0000\dots }$

En posant la division de ${\displaystyle 13}$ par ${\displaystyle 7}$, on peut comprendre pourquoi la période ${\displaystyle 857142}$ apparait et se répète indéfiniment : la première étape de la division donne comme reste ${\displaystyle 6}$, et les étapes suivantes les quotients ${\displaystyle 8,5,7,1,4,2}$ et les restes ${\displaystyle 4,5,1,3,2,6}$. Puisque l'on obtient le reste ${\displaystyle 6}$, en abaissant le ${\displaystyle 0}$, on se trouve de nouveau à diviser ${\displaystyle 60}$ par ${\displaystyle 7}$ (comme à la deuxième étape), donc obtenir de nouveau le quotient ${\displaystyle 8}$ et le reste ${\displaystyle 4}$, etc.

Cette constatation peut être généralisée et démontrée^[12], ainsi que sa réciproque, pour aboutir au théorème suivant : un nombre non nul est rationnel si et seulement si il a un développement périodique^[8].

Il est assez facile de convertir un développement décimal périodique en fraction :

Exemple : ${\displaystyle x=3,25723723723\dots }$

${\displaystyle 100x=325,723723723\dots }$

${\displaystyle 100x-325=y=0,723723723\dots }$

On remarque que si ${\displaystyle y}$ est rationnel ${\displaystyle x}$ l'est aussi.

${\displaystyle y=0,723723723\dots }$^[13]

${\displaystyle 1000y=723,723723723\dots }$

Donc : ${\displaystyle 1000y=723+y}$ et ${\displaystyle 999y=723}$

D'où ${\displaystyle y={\frac {723}{999}}}$ : ${\displaystyle y}$ est donc rationnel et ${\displaystyle x}$ aussi.

La méthode se généralise pour tout développement décimal illimité périodique. On se débarrasse de la mantisse par une multiplication par la puissance de dix adéquate et par la soustraction d'un nombre entier. On obtient alors un nombre y s'écrivant "0,périodepériodepériode..." sur lequel on effectue le même type d'opération que plus haut : multiplication par la puissance de 10 adéquate pour obtenir 10ⁿy = période + y. Et la résolution de l'équation prouve que y est rationnel et donc x également.

Il est possible de déterminer rigoureusement la longueur de la mantisse ${\displaystyle M}$ et celle de la période ${\displaystyle C}$ du développement décimal de tout nombre rationnel grâce à l'approche suivante^[14] :

On note que tout nombre rationnel non entier ${\displaystyle R=P/Q}$ peut se décomposer en : ${\displaystyle R=E(R)+r}$ où ${\displaystyle E(R)}$ est la partie entière de ${\displaystyle R}$, et ${\displaystyle r}$ sa partie décimale (${\displaystyle 0<r<1}$). Comme ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle E(R)}$ sont rationnels, ${\displaystyle r}$ l'est aussi. Donc ${\displaystyle r=p/q}$ avec ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ premiers entre eux et ${\displaystyle 0<p<q}$. On définit ensuite les entiers ${\displaystyle k,l}$ et ${\displaystyle s}$ tels que ${\displaystyle q=2^{k}\times 5^{l}\times s}$ avec ${\displaystyle s}$ impair non divisible par ${\displaystyle 5}$, puis on définit ${\displaystyle m}$ comme ${\displaystyle m=max(k,l)}$. On démontre que ${\displaystyle r}$ a comme développement décimal ${\displaystyle r=0,\underbrace {a_{1}a_{2}\cdots a_{m}} _{M}\underbrace {c_{1}c_{2}\cdots c_{v}} _{C}\underbrace {c_{1}c_{2}\cdots c_{v}} _{C}c_{1}c_{2}\cdots }$ , donc que celui de ${\displaystyle R}$ est ${\displaystyle E(R),\underbrace {a_{1}a_{2}\cdots a_{m}} _{M}\underbrace {c_{1}c_{2}\cdots c_{v}} _{C}\underbrace {c_{1}c_{2}\cdots c_{v}} _{C}c_{1}c_{2}\cdots }$, avec les caractéristiques suivantes:

• Si ${\displaystyle s=1}$ : tous les ${\displaystyle c_{i}}$sont nuls et ${\displaystyle r}$ ainsi que ${\displaystyle R}$ sont décimaux ;
• Si ${\displaystyle s>1}$: le développement décimal de ${\displaystyle r}$ comme celui de ${\displaystyle R}$ sont périodiques à partir de la ${\displaystyle m+1}$ ème décimale, et la période est de longueur ${\displaystyle v}$ où ${\displaystyle v}$ est le plus petit entier ${\displaystyle n}$ non nul tel que le reste de la division ${\displaystyle 10^{n}}$ par ${\displaystyle s}$ soit égal à ${\displaystyle 1}$;
• La longueur de la mantisse est ${\displaystyle m}$ et celle de la période est ${\displaystyle v}$.

Exemples d'application :

• Sans calculer le développement décimal de ${\displaystyle 141/148}$, on sait que sa mantisse a deux chiffres (car ${\displaystyle 148=2^{2}\times 5^{0}\times 37}$) et que sa période en a trois (car ${\displaystyle 10^{3}=27\times 37+1}$). Et, en posant la division de ${\displaystyle 141}$ par ${\displaystyle 148}$, on trouve : ${\displaystyle 141/148=0,95270270\cdots }$ qui a bien les caractéristiques attendues ;

• Un rationnel a un développement décimal sans mantisse si et seulement si il peut s'écrire comme une fraction irréductible ${\displaystyle p/q}$ avec q impair et non divisible par ${\displaystyle 5}$ : en effet si ${\displaystyle q}$ est pair ou multiple de ${\displaystyle 5}$, la mantisse aura une longueur non nulle. Ainsi, on peut affirmer sans calcul que le développement décimal de ${\displaystyle 12/7}$ n'a pas de mantisse. Et en le calculant, on trouve en effet : ${\displaystyle 1,714285714\cdots }$. Réciproquement, en considérant le nombre ${\displaystyle 3,144144\cdots }$ on peut affirmer, sans calcul, qu'il est rationnel et peut s'écrire sous une forme irréductible du type ${\displaystyle p/q}$ avec ${\displaystyle q}$ impair non divisible par ${\displaystyle 5}$. Et en utilisant la méthode énoncée plus haut, on trouve en effet que ${\displaystyle 3,144144\cdots =1047/333}$.

Comme pour les décimaux, les développements d'un nombre rationnel négatif ${\displaystyle z}$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de ${\displaystyle z}$ précédés du signe "${\displaystyle -}$". Ainsi, par exemple : ${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=-0,6666\dots }$ ^[5].

En prenant ${\displaystyle x=0,99999999\dots }$ on obtient^[13]: ${\displaystyle 10x=9,99999999\dots =9+x}$. Donc ${\displaystyle x=1}$ et ${\displaystyle 1=0,99999999\dots }$et "${\displaystyle 0,99999999\dots }$" est le développement décimal impropre de l'entier "un".

On peut démontrer que tout nombre réel peut être représenté par un développement décimal, et que certains d'entre eux en ont plusieurs. Cette démonstration utilise le théorème des suites adjacentes dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels.

Si ${\displaystyle x}$ est un nombre réel, on construit les suites de nombres décimaux suivantes^[1] :

${\displaystyle u_{n}={\frac {E(10^{n}\times x)}{10^{n}}}}$ et ${\displaystyle v_{n}={\frac {E(10^{n}\times x)+1}{10^{n}}}}$ où ${\displaystyle E(a)}$ désigne la partie entière de ${\displaystyle a}$.

${\displaystyle u_{n}}$ s'appelle l'approximation décimale de ${\displaystyle x}$ par défaut à ${\displaystyle 10^{-n}}$ et ${\displaystyle v_{n}}$ celle par excès.

On démontre que ${\displaystyle u_{n}}$ et ${\displaystyle u_{n+1}}$ ne diffèrent (éventuellement) que sur la ${\displaystyle (n+1)}$ème décimale qui est de ${\displaystyle 0}$ pour ${\displaystyle u_{n}}$ et de ${\displaystyle a_{n+1}}$ pour ${\displaystyle u_{n+1}}$.

${\displaystyle u_{n}}$ s'écrit alors

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{-k}}$

où ${\displaystyle a_{0}}$ est un entier (éventuellement nul) et où tous les ${\displaystyle a_{k}}$ pour ${\displaystyle k=1}$ à ${\displaystyle n}$ sont des entiers compris dans {${\displaystyle 0,\dots ,9}$}.

On démontre aussi que (${\displaystyle u_{n}}$) et (${\displaystyle v_{n}}$) sont des suites adjacentes encadrant ${\displaystyle x}$, donc elles convergent vers ${\displaystyle x}$. On appelle alors développement décimal illimité la suite (${\displaystyle a_{n}}$) et on a^[8] :

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}10^{-k}}$.

Réciproquement, si (${\displaystyle a_{n}}$) est une suite d'entiers tels que tous les ${\displaystyle a_{k}}$ pour ${\displaystyle k=1}$ à ${\displaystyle n}$ sont des entiers compris dans {${\displaystyle 0,\dots ,9}$}, on démontre que la série ${\displaystyle U_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{-k}}$ est convergente dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vers un réel ${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}10^{-k}}$. Il faut alors distinguer deux cas :

• Si la suite (${\displaystyle a_{n}}$) converge vers ${\displaystyle 9}$ (tous ses termes sont égaux à ${\displaystyle 9}$ à partir d'un certain rang ${\displaystyle k}$), alors ${\displaystyle x}$ est un décimal d'ordre ${\displaystyle k-1}$^[15]. La suite (${\displaystyle u_{n}}$) définie dans la première partie ne coïncide pas avec la suite (${\displaystyle U_{n}}$). La suite (${\displaystyle a_{n}}$) sera appelée développement impropre.
• Si la suite ne converge pas vers ${\displaystyle 9}$, la suite (${\displaystyle u_{n}}$) définie dans la première partie coïncidera à la suite (${\displaystyle U_{n}}$) . La suite (${\displaystyle a_{n}}$) sera appelée développement propre.

Cette construction d'un développement illimité permet de retrouver le développement propre d'un décimal ${\displaystyle 3,5670000\dots }$, ou d'un rationnel ${\displaystyle 3,25743743743\dots }$ tels que définis dans les chapitres précédents.

Cas des réels négatifs : en cohérence avec la convention prise pour les nombres rationnels, les développements décimaux de tout nombre réel négatif ${\displaystyle z}$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de ${\displaystyle z}$ précédés du signe "${\displaystyle -}$". Ainsi, par exemple : ${\displaystyle -\pi =-3,141592\dots }$ ^[5].

On démontre que cette définition construit une bijection entre les réels et les suites (${\displaystyle a_{n}}$) d'entiers telles que ${\displaystyle a_{0}}$ est un entier relatif, tous les ${\displaystyle a_{k}}$ pour ${\displaystyle k=1}$ à ${\displaystyle n}$ sont dans {${\displaystyle 0,\dots ,9}$} et la suite ne stationne pas à ${\displaystyle 9}$^[16],[17].

Sauf pour les décimaux et les rationnels, il n'est en général pas possible de « prévoir » les décimales du développement d'un réel : seuls des calculs poussés permettent, par exemple, de découvrir les premières décimales de π^[18].

Des études portant sur la prévisibilité ou la fréquence des entiers dans les développements décimaux de nombres irrationnels comme ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ou π sont menées depuis plusieurs décennies^[19]. Elles ont notamment conduit à la définition, par le mathématicien français Émile Borel, de certaines catégories de nombres : ainsi, lorsque la fréquence d'apparition de chaque chiffre est de 10 % dans leur développement décimal, et, plus généralement, lorsque la fréquence d'apparition d'une suite de ${\displaystyle n}$ chiffres donnée est (pour chaque suite) de 10^-n, on dit que le réel est un nombre normal. Les études relatives aux nombres transcendants ont également conduit à la construction de nombres dont le développement décimal a des caractéristiques curieuses, dont certains exemples sont donnés ci-dessous :

• le réel dont le développement décimal est ${\displaystyle 0,1234567891011121314151617\dots }$ (soit la suite croissante des entiers naturels écrits en base dix) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est la constante de Champernowne, du nom du mathématicien anglais qui l'a inventé en 1933. Ce nombre est évidemment irrationnel, mais aussi transcendant (prouvé par Kurt Mahler en 1961), et normal en base dix ;
• la constante de Copeland-Erdős ${\displaystyle 0,2357111317192329313741\dots }$, constituée de la succession des nombres premiers écrits en base dix, est elle aussi normale en base dix ;
• le réel dont le développement décimal est ${\displaystyle 0,110001000000000000000001\dots }$, c'est-à-dire la somme des puissances factorielles négatives de dix (${\displaystyle 10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+\dots +10^{-k!}+\dots }$) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est appelé la constante de Liouville parce qu'il figure parmi les premiers exemples explicites de nombres transcendants, fournis par Joseph Liouville.

D'autres résultats mathématiques, reliés au développement décimal des réels, ont été démontrés : ainsi, si on tire au hasard, uniformément, un nombre réel entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$, les chiffres de son développement décimal forment une suite de variables aléatoires indépendantes uniformes sur ⟦${\displaystyle 0,9}$⟧. Ce fait est la clé de la démonstration du théorème du nombre normal, dû à Émile Borel : à l'occasion de cette démonstration, Émile Borel a découvert le lemme de Borel-Cantelli, et a démontré la première version connue de la loi forte des grands nombres^[20].

Plusieurs autres théorèmes peuvent également être démontrés à partir de l'étude des développements décimaux, notamment les suivants :

• l'ensemble des nombres décimaux ${\displaystyle \mathbb {D} }$, celui des rationnels ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et celui des irrationnels ${\displaystyle \mathbb {R} }$\${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sont denses dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels^[21] ;
• l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ n'est pas dénombrable^[22] ;
• l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ n'est pas complet^[23] ;
• toute partie non vide et majorée de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ possède une borne supérieure^[24] ;
• toute suite bornée de réels possède une sous-suite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass)^[24] ;
• tout nombre de Liouville est transcendant^[25].

Le développement décimal fait jouer un rôle particulier au nombre dix car il utilise la notation positionnelle de base dix. Tout ce qui précède peut être généralisé à toute numération positionnelle de base entière ${\displaystyle b}$ supérieure à ${\displaystyle 1}$^[8]. En notation en base ${\displaystyle b}$, les nombres admettant deux développements sont ceux de la forme ${\displaystyle {\frac {a}{b^{k}}}}$, les nombres rationnels restant caractérisés par la périodicité de leur développement.

En base 2, l'application ${\displaystyle d:\{0,1\}^{\mathbb {N} ^{*}}\rightarrow [0,1]}$ qui associe à une suite ${\displaystyle (\epsilon _{n})_{n\geq 1}}$, où ${\displaystyle \epsilon _{n}}$ vaut ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$, le nombre ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\epsilon _{n}}{2^{n}}}}$, est surjective (car tout nombre réel admet un développement en base ${\displaystyle 2}$). Elle n'est pas bijective, puisque les rationnels dyadiques, c’est-à-dire ceux de la forme ${\displaystyle {\frac {a}{2^{k}}}}$, admettent deux développements.

En base 3, l'application qui à la même suite ${\displaystyle (\epsilon _{n})_{n\geq 1}}$ associe le nombre ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\epsilon _{n}}{3^{n}}}}$ est injective. Elle n'est pas surjective : son image est l'ensemble de Cantor^[26].

On peut tirer de cette représentation des objets de prime abord paradoxaux, par exemple une surjection continue du segment ${\displaystyle [0,1]}$ dans le carré ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ (voir Courbe remplissante)^{[réf. souhaitée]}.

Il est possible de définir un système de numération de base dix en interdisant l'utilisation du chiffre valant zéro : cette numération est qualifiée de bijective ou 10-adique. On peut en particulier démontrer que tout nombre entier naturel ${\displaystyle n}$ non nul peut être décomposé de façon unique sous la forme : ${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}c_{k}\times 10^{k}=c_{0}+c_{1}\times 10+\cdots +c_{N}\times 10^{N}}$, où les ${\displaystyle c_{k}}$ sont des entiers naturels tels que : ${\displaystyle 0<c_{k}\leqslant 10}$. Donc tout entier non nul a un développement décimal fini en 10-adique^[27].

Par exemple : ${\displaystyle 1925_{10}=1925_{10-adique}}$ et ${\displaystyle 2025_{10}=1A25_{10-adique}}$, où ${\displaystyle A}$ est le chiffre représentant le nombre dix.

Chaque entier supérieur à 1 a même une infinité de développements finis 10-adique et un développement illimité. Par exemple : ${\displaystyle 2_{10}=2_{10-adique}=1,A_{10-adique}=1,9A_{10-adique}=1,99A_{10-adique}=\dots }$ et ${\displaystyle 2_{10}=2_{10-adique}=1,9999\dots _{10-adique}}$

Et bien d'autres réels ont un développement 10-adique, notamment tous ceux qui ont un développement décimal fini ou illimité ne comportant aucun ${\displaystyle 0}$^[28].

Mais, contrairement à ce qui se passe en notation décimale classique, tous les réels n'ont pas un développement 10-adique : ainsi, par exemple 1/100 ou encore 1/1000 n'en ont pas.

• Jean-Paul Delahaye, « Être normal ? Pas si facile ! », Pour la science, n^o 422,‎ décembre 2012, p. 126-131 (lire en ligne [PDF]). 
• (en) G.H. Hardy et E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, London, Oxford University Press, 1954, 3^e éd., 444 p. (lire en ligne). 
• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de Mathématiques : Analyse, t. 2, Paris, Bordas, 1977. 
• Université Paris-Saclay, Leçon 205 : Écriture décimale d'un nombre réel. Cas des nombres rationnels. Notes de cours. (Cours d'analyse pour l'agrégation interne), Saclay, Université Paris-Saclay, 2023, 9 p. (lire en ligne [PDF]). 
• Karim Zayana et Olivier Rioul, « Imagine R », Bulletin de l’Union des Professeurs de classes préparatoires Scientifiques, Paris, n^o 267,‎ septembre 2019, p. 30-45 (lire en ligne [PDF], consulté le 5 octobre 2025). 

• Base (arithmétique)
• Développement décimal de l'unité
• Écriture décimale positionnelle

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Store norske leksikon
• Notices d'autorité :

  • Japon

• Arithmétique et théorie des nombres