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En mathématiques, un domaine de Fatou-Bieberbach est un sous-domaine propre de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, équivalent par biholomorphisme à ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Autrement dit, un ensemble ouvert ${\displaystyle \Omega \subsetneq \mathbb {C} ^{n}}$ est appelé un domaine de Fatou–Bieberbach s’il existe une fonction holomorphe bijective ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ dont la fonction inverse ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega }$ est aussi holomorphe.

Une application biholomorphe injective de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ dont l’image est un sous-ensemble propre de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ est appelée une application de Fatou-Bieberbach et son image est un domaine de Fatou-Bieberbach.

A cause du théorème de l'application conforme, un tel domaine ne peut pas exister pour ${\displaystyle n=1}$.

Pierre Fatou a donné en 1922 un exemple^[1] d’une application entière de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ dont l’image n’est pas dense dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$.

Ludwig Bieberbach a indiqué quelques années plus tard un exemple injectif^[2].

Ces domaines ont ensuite fait l’objet de nouvelles recherches depuis les années 1980 dans le contexte du développement de l’analyse complexe à plusieurs variables et de la dynamique holomorphe.

On considère l’application de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ :

${\displaystyle F(z_{1},z_{2})={\frac {1}{2}}(z_{2},z_{1}+z_{2}^{2}).}$

C’est un automorphisme et son inverse est ${\displaystyle F^{-1}(z_{1},z_{2})=2(z_{2}-2z_{1}^{2},z_{1})}$.

L’origine est un point fixe d’attraction de ${\displaystyle F}$, au sens que si un point ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2})}$ est tel que ${\displaystyle \max(|z_{1}|,|z_{2}|)<1}$, les itérées successives de ${\displaystyle z}$ par ${\displaystyle F}$ tendent vers le point ${\displaystyle (0,0)}$. En fait, le bassin d’attraction de l’origine est l’union des images réciproques du disque unité par les applications ${\displaystyle F^{-k}}$ (les itérées de l’inverse de ${\displaystyle F}$).

Ce bassin d’attraction est un domaine de Fatou-Bieberbach ^[3].

Plus généralement si ${\displaystyle F}$ est un automorphisme de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ avec un point fixe d’attraction à l’origine, alors le bassin d’attraction de ce point fixe est biholomorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Si ce n’est pas ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ tout entier, c’est un domaine de Fatou-Bieberbach ^[4].

• Pierre Fatou, « Sur les fonctions méromorphes de deux variables », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, vol. 175,‎ 1922, p. 862.
• Piere Fatou, « Sur certaines fonctions uniformes de deux variables », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, vol. 175,‎ 1922, p. 1030.
• (de) Ludwig Bieberbach, « Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{4}}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln », Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, vol. 175,‎ 1933, p. 476-479.
• (en) Jean-Pierre Rosay et Walter Rudin, « Holomorphic maps from ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 310,‎ 1988, p. 47-86.
• (en) Harold P. Boas, « Lecture notes on several complex variables », 2013 (consulté le 22 mai 2023).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fatou-Bieberbach Domain » (voir la liste des auteurs).

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