Droite de Simson

Le point M du cercle circonscrit au triangle (*ABC*) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés.

Soit un triangle ABC, M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :

M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
U, V et W sont alignés.

Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M.

En particulier :

la droite de Simson associée à un sommet est la hauteur issue de ce sommet ;
la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.

Diverses propriétés

Démonstration de l'existence de la droite de Simson

On se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration.

construction du cercle passant par MVUC — ${\widehat {UVM}}$ et ${\widehat {UCM}}$ sont supplémentaires

Pour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont alignés. Cela revient à montrer que les angles ${\widehat {UVM}}$ et ${\widehat {MVW}}$ sont supplémentaires, c'est-à-dire que ${\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }$ . Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante :

(i) ${\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}$

Or ${\widehat {MVC}}$ et ${\widehat {MUC}}$ sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible.

On en déduit que ${\widehat {UVM}}+{\widehat {UCM}}=180^{\circ }$ soit encore :

(ii) ${\widehat {UVM}}+{\widehat {BCM}}=180^{\circ }$

construction du cercle passant par MVAW — ${\widehat {MVW}}$ et ${\widehat {MAW}}$ sont égaux

De même ${\widehat {MVA}}$ et ${\widehat {MWA}}$ sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible.

On en déduit que :

(iii) ${\widehat {MVW}}={\widehat {MAW}}=180^{\circ }-{\widehat {MAB}}$

En remplaçant dans (i) ${\widehat {UVM}}$ et ${\widehat {MVW}}$ par leur valeur donnée dans (ii) et (iii) on obtient :

(iv) ${\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }-{\widehat {BCM}}+180^{\circ }-{\widehat {MAB}}=360^{\circ }-{\widehat {BCM}}-{\widehat {MAB}}$

Or, par hypothèse A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc :

(v) ${\widehat {BCM}}+{\widehat {MAB}}=180^{\circ }$

En reportant (v) dans (iv) on obtient : ${\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }$

CQFD.

Si H est l'orthocentre du triangle ABC, alors la droite MH et la droite de Simson associée à M se coupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC.

Si M et M' sont deux points du cercle circonscrit, alors l'angle entre les droites de Simson de ces deux points est la moitié de l'arc MM'. En particulier, si M et M' sont diamétralement opposés sur le cercle leurs droites de Simson sont perpendiculaires et en outre leur point d'intersection se trouve sur le cercle d'Euler du triangle.

Deux triangles étant donnés, inscrits dans le même cercle, les deux droites de Simson d'un point M par rapport aux deux triangles font entre elles un angle constant, qui ne dépend pas du choix du point M.

Enveloppe des droites de Simson

Théorème — L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde, appelée deltoïde de Steiner.

Les droites de Simson (en rouge) sont tangentes à une deltoïde (en bleu).

Généralisation

Jean-Victor Poncelet a établi dans son Traité des propriétés projectives des figures que si on projette un point du cercle circonscrit à un triangle sur les côtés (étendus) du triangle selon un même angle $α$ fixe, alors les trois points sont alignés ; la droite de Simson correspond au cas $α = π /2$ ^[1].

Références

↑ (en) B. C. Patterson, « The Triangle: Its Deltoids and Foliates », The American Mathematical Monthly, vol. 47, n^o 1,‎ 1940, p. 11–18 (DOI 10.1080/00029890.1940.11990930)

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Droite de Simson, Lignes de Simson des pôles antidiamétraux - Cercle d'Euler, Ligne de Simson - Cercle d'Euler, Parallèles à la ligne de Simson sur Géométrie interactive
Enveloppe de la droite de Simson sur le site abracadabri (associé à Cabri Géomètre)
(en) Simson's line theorem et Angle between two Simson lines theorem par Antonio Gutierrez, sur le site Geometry Step by Step from the Land of the Incas
(en) Simson line sur cut-the-knot
Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)
La droite de Simson sur le site mathwebs.com .

Portail de la géométrie

[1] (en) B. C. Patterson, « The Triangle: Its Deltoids and Foliates », The American Mathematical Monthly, vol. 47, n^o 1,‎ 1940, p. 11–18 (DOI 10.1080/00029890.1940.11990930)

[1]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron