Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs O_X, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de O_X soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A.

Exemples

• les schémas ;
• les variétés différentielles, munies de leurs fonctions C ^∞ à valeurs dans ℂ ;
• les variétés complexes, munies de leurs fonctions holomorphes à valeurs dans ℂ ;
• les variétés algébriques.

Un sous-espace ouvert de ${\displaystyle X}$ est une partie ouverte ${\displaystyle U}$ munie du faisceau d'anneaux ${\displaystyle O_{X}|_{U}}$. Le couple ${\displaystyle (U,O_{X}|_{U})}$ est un espace localement annelé.

Soit ${\displaystyle x}$ un point de ${\displaystyle X}$. Soit ${\displaystyle m_{x}}$ l'idéal maximal de l'anneau local ${\displaystyle O_{X,x}}$. Le quotient ${\displaystyle k(x):=O_{X,x}/m_{x}}$ est le corps résiduel de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$. Si ${\displaystyle U}$ est un voisinage ouvert de ${\displaystyle x}$, alors ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle X}$ ont le même corps résiduel en ${\displaystyle x}$.

Par exemple, Si ${\displaystyle X}$ est une variété algébrique, alors ${\displaystyle x}$ appartient à un voisinage ouvert affine ${\displaystyle \mathrm {Spm} A}$. Le point ${\displaystyle x}$ correspond à un idéal maximal ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle A}$, et le corps résiduel ${\displaystyle k(x)}$ est égal à ${\displaystyle A/M}$.

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).

Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, O_X) et (Y, O_Y) est la donnée d'une application continue f : X → Y et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f^# : O_Y → f_*O_X tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux O_{Y, f(x)} → O_{X, x} induit par f^# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme ${\displaystyle (f,f^{\#})}$ par ${\displaystyle f}$.

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes ${\displaystyle (X,O_{X})\to (Y,O_{Y})}$, ${\displaystyle (Y,O_{Y})\to (Z,O_{Z})}$ pour obtenir un morphisme ${\displaystyle (X,O_{X})\to (Z,O_{Z})}$. Un isomorphisme est un morphisme ${\displaystyle f:(X,O_{X})\to (Y,O_{Y})}$ qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec ${\displaystyle f}$ est égale à l'identité.

Un morphisme (f, f^#) : (X, O_X) → (Y, O_Y) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux O_{Y, f(x)} → O_{X, x} est surjectif.

Exemple Soit ${\displaystyle x}$ un point de ${\displaystyle X}$. Alors l'espace topologique ${\displaystyle \{x\}}$ muni du faisceau constant ${\displaystyle k(x)}$ est un espace localement annelé, et on a un morphisme ${\displaystyle ({x},k(x))\to (X,O_{X})}$ qui est l'inclusion canonique ${\displaystyle \{x\}\to X}$ au niveau du point ${\displaystyle x}$. C'est une immersion.

Soit ${\displaystyle x}$ un point de ${\displaystyle X}$. Soit ${\displaystyle m_{x}}$ l'idéal maximal de l'anneau local ${\displaystyle O_{X,x}}$. Alors le quotient ${\displaystyle m_{x}/m_{x}^{2}=m_{x}\otimes _{O_{X,x}}k(x)}$ est un espace vectoriel sur ${\displaystyle k(x)}$. Son dual s'appelle l'espace tangent de Zariski de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$. C'est surtout en géométrie algébrique qu'on utilise cette approche. Cependant, dans le cas des variétés différentielles et variétés analytiques complexes, cette notion coïncide avec la définition standard.

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, § 4

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