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Fonction affine

Courbes représentatives des fonctions ${\displaystyle x\mapsto 0,5x+2}$ et ${\displaystyle x\mapsto -x+5}$.

Notation	${\displaystyle ax+b}$
Réciproque	${\displaystyle {\frac {1}{a}}x-{\frac {b}{a}}}$ si ${\displaystyle a\neq 0}$
Dérivée	${\displaystyle a}$
Primitives	${\displaystyle {\frac {a}{2}}x^{2}+bx+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Ensemble image	${\displaystyle \mathbb {R} }$ si ${\displaystyle a\neq 0}$

Valeurs particulières

Valeur en zéro	${\displaystyle b}$
Limite en +∞	${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle -\infty }$ si ${\displaystyle a<0}$
Limite en −∞	${\displaystyle -\infty }$ si ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle a<0}$

Particularités

Zéros	${\displaystyle -{\frac {b}{a}}}$
Points fixes	${\displaystyle {\frac {b}{1-a}}}$ si ${\displaystyle a\neq 1}$

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En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

où les paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ ne dépendent pas de ${\displaystyle x}$^[1].

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont ${\displaystyle a}$ est la pente et ${\displaystyle b}$ l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique^[2], une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.

Une fonction affine ${\displaystyle f}$ est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de ${\displaystyle x}$ et les accroissement de ${\displaystyle f(x)}$. En effet, si ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ sont deux réels, l'accroissement ${\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})}$ est proportionnel à ${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$. Le coefficient de proportionnalité est ${\displaystyle a}$.

Une fonction ${\displaystyle f}$ est affine si et seulement si il existe ${\displaystyle a}$ tel que pour tout réels ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, ${\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})}$.

Démonstration^[3]

Si pour tout réels ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, ${\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})}$. Alors en particulier pour ${\displaystyle x_{2}=0}$ :

${\displaystyle f(x_{1})-f(0)=ax_{1}}$

et donc ${\displaystyle f(x)=ax+f(0)}$, ${\displaystyle f}$ est affine.

Réciproquement, si ${\displaystyle f}$ est affine :

${\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=ax_{2}+b-ax_{1}-b=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1}).}$

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$ si ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$.

On en déduit : ${\displaystyle f'(x)=a}$. La dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur — ou coefficient de proportionnalité — de la fonction affine.

L'ordonnée à l'origine ${\displaystyle b}$ peut se calculer de la manière suivante :

${\displaystyle b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}}$ si ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$.

Si l'on connaît l'expression de ${\displaystyle f}$, alors on a que ${\displaystyle b=f(0)}$.

Supposons ${\displaystyle a,b}$ réels et ${\displaystyle a}$ non nul.

• L'unique solution de l'équation ${\displaystyle ax+b=0}$ est le réel ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}}$.
• L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\displaystyle ax+b\geq 0}$ est l'intervalle réel ${\displaystyle \left[-{\frac {b}{a}},+\infty \right[}$ si ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle \left]-\infty ,-{\frac {b}{a}}\right]}$ si ${\displaystyle a<0}$.

• Exemple de l'abonnement téléphonique.

Le prix de l'abonnement mensuel est ${\displaystyle A}$ et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre ${\displaystyle x}$ de minutes de communication dans le mois :

${\displaystyle f\,\colon x\mapsto A+0{,}1~x}$.

• Longueur d'un ressort.

Si au repos le ressort a une longueur ${\displaystyle L_{0}}$ et si sa raideur est ${\displaystyle k}$, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).

${\displaystyle L\,\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}}$.

Dans ce cas, le coefficient directeur est ${\displaystyle 1/k}$ et l'ordonnée à l'origine ${\displaystyle L_{0}}$.

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite^[4] dont l'équation est

${\displaystyle y=ax+b}$.

La droite coupe l'axe des ordonnées pour ${\displaystyle y=b}$ (d'où le nom d'ordonnée à l'origine)^[4]. Lorsque ${\displaystyle b}$ est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel ${\displaystyle a}$^[4]. Si ${\displaystyle a>0}$, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si ${\displaystyle a<0}$, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de ${\displaystyle a}$ carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Si ${\displaystyle M(x_{1},y_{1})}$ et ${\displaystyle N(x_{2},y_{2})}$ sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation ${\displaystyle y=ax+b}$, alors :

${\displaystyle a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$,

${\displaystyle b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$.

Si ${\displaystyle a=0}$ alors la fonction est constante et si ${\displaystyle b=0}$ alors la fonction est linéaire.

• Application affine (d'un espace affine dans un autre)
• Fonction affine par morceaux

• Jean Wacksmann, Mathématiques - Seconde : Pour aller plus loin en démontrant et en s’entraînant, Ellipses, 8 janvier 2019, 576 p. (ISBN 9782340028708), chap. 6.1 (« Fonction affine »)

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