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En mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont g₂ = 1 et g₃ = 0. Dans le cas des fonctions lemniscatiques, ces périodes (ω₁ et iω₁) sont liées à la constante de Gauss G ; on a ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi G={\frac {\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}{\sqrt {2\pi }}}}$ (où Γ est la fonction gamma).

Le sinus lemniscatique (en latin sinus lemniscatus) et le cosinus lemniscatique (en latin cosinus lemniscatus) (notés sinlemn ou sl et coslemn ou cl) sont des analogues des fonctions sinus et cosinus usuelles, en remplaçant le cercle par une lemniscate (de Bernoulli). Elles sont définies (puis prolongées par symétrie et périodicité) par

${\displaystyle \operatorname {sl} (r)=s,\quad {\textrm {avec}}\quad r=\int _{0}^{s}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

et

${\displaystyle \operatorname {cl} (r)=c,\quad {\textrm {avec}}\quad r=\int _{c}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$ (les fonctions trigonométriques usuelles peuvent être définies de même, en remplaçant t⁴ par t²).

Leurs prolongements analytiques au plan complexe sont des fonctions elliptiques doublement périodiques, de périodes ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi G}$ et ${\displaystyle \mathrm {i} \omega _{1}=2\mathrm {i} \pi G}$, où G est la constante de Gauss donnée par ${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=0.8346\ldots .}$ et i l'unité imaginaire ; la demi-période π G (analogue du nombre π en trigonométrie) est souvent notée ${\displaystyle \varpi }$. Les graphes des deux fonctions ont des symétries et des relations entre eux analogues à celles des graphes des fonctions trigonométriques (en remplaçant π par ${\displaystyle \varpi }$) ; en particulier ${\displaystyle \operatorname {cl} (x)=\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}-x\right)}$ (symétrie par rapport à l'axe d'équation ${\displaystyle X={\frac {\varpi }{4}}}$).

La lemniscate de Bernoulli, d'équation cartésienne ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}}$, est formée des points dont le produit des distances aux deux points (1/√2, 0), (−1/√2, 0) (les foyers) est constant et vaut 1/2. La longueur r de l'arc le plus court allant de l'origine à un point situé à la distance s de cette origine est donnée par ${\displaystyle r=\int _{0}^{s}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}},}$ et par conséquent les fonctions lemniscatiques donnent la distance à l'origine en fonction de la longueur des arcs.

On a entre le sinus et le cosinus lemniscatique la relation

${\displaystyle (\mathrm {sl} \,(x)^{2}+1)\cdot (\mathrm {cl} \,(x)^{2}+1)=2}$, qu'on peut réécrire

${\displaystyle \mathrm {cl} (x)^{2}={\frac {1-\mathrm {sl} (x)^{2}}{1+\mathrm {sl} (x)^{2}}}}$.

On a également des formules d'addition  :

${\displaystyle \mathrm {sl} \,(a+b)={\frac {\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {cl} \,(b)+\mathrm {cl} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b)}{1-\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {cl} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b)\cdot \mathrm {cl} \,(b)}}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} \,(a+b)={\frac {\mathrm {cl} \,(a)\cdot \mathrm {cl} \,(b)-\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b)}{1+\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {cl} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b)\cdot \mathrm {cl} \,(b)}}}$

qui s'écrivent aussi :

${\displaystyle \mathrm {sl} \,(a+b)={\frac {\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {sl'} \,(b)+\mathrm {sl'} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b)}{1+\mathrm {sl} \,(a)^{2}\cdot \mathrm {sl} \,(b)^{2}}}}$, où ${\displaystyle \mathrm {sl} '=\mathrm {cl} \cdot (\mathrm {sl} ^{2}+1)}$ est la dérivée de sl (voir la section suivante).

En utilisant la fonction arc tangente, ces formules se simplifient en :

${\displaystyle \mathrm {arctan} (\mathrm {sl} \,(a+b))=\mathrm {arctan} (\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {cl} \,(b))+\mathrm {arctan} (\mathrm {cl} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b))}$

${\displaystyle \mathrm {arctan} (\mathrm {cl} \,(a+b))=\mathrm {arctan} (\mathrm {cl} \,(a)\cdot \mathrm {cl} \,(b))-\mathrm {arctan} (\mathrm {sl} \,(a)\cdot \mathrm {sl} \,(b))}$

très proches sous cette forme des formules d'addition des fonctions trigonométriques.

Ces fonctions ont les dérivées suivantes :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {sl} (x)=\mathrm {cl} (x)\cdot (\mathrm {sl} \,(x)^{2}+1)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {cl} (x)=-\mathrm {sl} (x)\cdot (\mathrm {cl} \,(x)^{2}+1)}$,

d'où l'on déduit les dérivées secondes :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\mathrm {sl} (x)=-2\cdot \mathrm {sl} (x)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\mathrm {cl} (x)=-2\cdot \mathrm {cl} (x)^{3}}$

Ces fonctions sont solutions de l'équation différentielle

${\displaystyle y''=-2y^{3}}$

Utilisant la fonction arc tangente, on a les relations plus simples :

${\displaystyle \mathrm {cl} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(\mathrm {sl} (x))}$

${\displaystyle \mathrm {sl} (x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(\mathrm {cl} (x))}$.

On a les valeurs remarquables du sinus lemniscatique suivantes (on rappelle que ${\displaystyle \varpi ={\frac {\omega _{1}}{2}}}$ est la demi-période) :

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)=1}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (-{\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}+1)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)={\frac {\sqrt[{8}]{3}}{\sqrt[{4}]{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)={\sqrt {({\sqrt[{4}]{2}}-1)\cdot \left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)={\sqrt {({\sqrt[{4}]{2}}-1)\cdot \left({\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot ({\sqrt[{4}]{5}}-1)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot ({\sqrt[{4}]{5}}-1)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}}$

La relation ${\displaystyle \mathrm {cl} ^{2}={\frac {1-\mathrm {sl} ^{2}}{1+\mathrm {sl} ^{2}}}}$ permet d'en déduire les valeurs de cl ; par exemple, on peut obtenir par simple symétrie :

${\displaystyle \mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)=\mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$.

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La fonction réciproque de la fonction sinus lemniscatique, notée argsl, est définie par la relation sl(argsl(x)) = argsl(sl(x)) = x, valable dans des intervalles convenables (la restriction de sl aux intervalles [-1,1] et ${\displaystyle \left[{\frac {-\varpi }{2}},{\frac {\varpi }{2}}\right]}$ étant une bijection). On voit aisément, en revenant à la définition, que argsl est la primitive de la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$ qui s'annule en 0 ; cette primitive est une intégrale elliptique de première espèce, valant plus précisément ${\displaystyle F(\arcsin x\,|\,-1)}$.

• Constante de Gauss

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lemniscatic elliptic function » (voir la liste des auteurs).

• (en) C. L. Siegel, « Topics in complex function theory. Vol. I: Elliptic functions and uniformization theory », Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, New York-London-Sydney, Wiley-Interscience A Division of John Wiley & Sons, vol. 25,‎ 1969 (ISBN 0-471-60844-0, MR 0257326)

• (en) « Lemniscate functions », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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