Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Les relations de commutation entre les observables se déduisent du principe de correspondance entre la mécanique hamiltonienne et la mécanique quantique . Leurs expressions peuvent alors être trouvées à partir d'une analyse mathématique.
Observable
Symbole
Expression(s)
Commentaire
Position
r
→
^
=
(
x
^
,
y
^
,
z
^
)
{\displaystyle {\hat {\vec {r}}}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}
x
^
:
ψ
↦
ψ
~
, avec
{\displaystyle {\hat {x}}:\psi \mapsto {\tilde {\psi }}{\text{, avec }}}
ψ
~
(
x
,
y
,
z
)
=
x
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\tilde {\psi }}(x,y,z)=x\,\psi (x,y,z)}
impulsion
p
→
^
=
(
p
^
x
,
p
^
y
,
p
^
z
)
{\displaystyle {\hat {\vec {p}}}=({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}
p
→
^
=
ℏ
i
∇
=
−
i
ℏ
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle {\hat {\vec {p}}}={\frac {\hbar }{i}}\nabla =-i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
p
→
^
=
ℏ
i
∇
−
q
A
→
^
{\displaystyle {\hat {\vec {p}}}={\frac {\hbar }{i}}\nabla -q{\hat {\vec {A}}}}
La deuxième formule est valable pour une particule chargée en jauge de coulomb
Énergie cinétique
T
,
K
{\displaystyle T,K\,\!}
p
2
2
m
=
−
ℏ
2
2
m
Δ
{\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }
Moment cinétique orbital
L
→
^
=
(
L
^
x
,
L
^
y
,
L
^
z
)
{\displaystyle {\hat {\vec {L}}}=({\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z})}
L
→
^
=
r
→
^
×
p
→
^
{\displaystyle {\hat {\vec {L}}}={\hat {\vec {r}}}\times {\hat {\vec {p}}}}
L
^
x
=
−
i
ℏ
(
y
∂
∂
z
−
z
∂
∂
y
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
L
^
y
=
−
i
ℏ
(
z
∂
∂
x
−
x
∂
∂
z
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
L
^
z
=
−
i
ℏ
(
x
∂
∂
y
−
y
∂
∂
x
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}
Les vecteurs propres communs à
L
2
{\displaystyle L^{2}}
et à
L
z
{\displaystyle L_{z}}
forment les harmoniques sphériques
Spin
S
→
^
=
(
S
^
x
,
S
^
y
,
S
^
z
)
{\displaystyle {\hat {\vec {S}}}=({\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z})}
S
^
x
=
ℏ
2
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle {\hat {S}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
S
^
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
i
0
)
{\displaystyle {\hat {S}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-\ i\\i&0\end{pmatrix}}}
S
^
z
=
ℏ
2
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \quad {\hat {S}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-\ 1\end{pmatrix}}}
Formules valables dans le cas d'un spin 1/2
Moment cinétique total
J
→
^
{\displaystyle {\hat {\vec {J}}}}
L
→
^
+
S
→
^
{\displaystyle {\hat {\vec {L}}}+{\hat {\vec {S}}}}
Carré du moment cinétique
J
^
2
{\displaystyle {\hat {J}}^{2}}
J
^
x
2
+
J
^
y
2
+
J
^
z
2
{\displaystyle {\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}}
Champ électrique
E
→
^
(
x
)
{\displaystyle {\hat {\vec {E}}}(x)}
i
E
k
(
0
)
(
x
)
2
(
a
k
−
a
k
+
)
e
→
k
(
x
)
{\displaystyle i{\frac {{\mathcal {E}}_{k}^{(0)}(x)}{2}}(a_{k}-a_{k}^{+}){\vec {e}}_{k}(x)}
Valable pour un seul mode (k) du champ.
e
→
k
{\displaystyle {\vec {e}}_{k}}
est le vecteur unitaire indiquant la polarisation.
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
=
H
^
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }
Pour un état propre de l'énergie, c'est-à-dire répondant à l'équation aux valeurs propres
H
^
|
ψ
0
⟩
=
E
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi _{0}\right\rangle =E\left|\psi _{0}\right\rangle }
à l'instant initial t=0, l'évolution aux instants ultérieurs (t>0) sera :
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
E
t
ℏ
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-{\frac {i\,E\,t}{\hbar }}}\left|\psi _{0}\right\rangle }
À partir de la notion d'exponentielle de matrice , on peut trouver la solution formelle de l'équation de Schrödinger. Cette solution s'écrit :
|
ψ
(
t
)
⟩
=
U
(
t
,
t
0
)
|
ψ
(
t
0
)
⟩
,
{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t,t_{0})\left|\psi (t_{0})\right\rangle ,}
avec
U
(
t
,
t
0
)
=
U
(
t
−
t
0
)
=
exp
(
−
i
H
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
{\displaystyle U(t,t_{0})=U(t-t_{0})=\exp \left(-i{\frac {H}{\hbar }}(t-t_{0})\right)}
dans le cas où H ne dépend pas explicitement du temps, et
U
(
t
,
t
0
)
=
exp
(
−
i
∫
t
0
t
H
(
t
′
)
d
t
′
ℏ
)
{\displaystyle U(t,t_{0})=\exp \left(-i{\frac {\int _{t_{0}}^{t}H(t')dt'}{\hbar }}\right)}
dans le cas général.
Représentation :
Heisenberg
Interaction
Schrödinger
Ket
constant
|
Ψ
(
t
)
⟩
I
=
U
0
−
1
|
Ψ
(
t
)
⟩
S
{\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{I}=U_{0}^{-1}|\Psi (t)\rangle _{S}}
|
Ψ
(
t
)
⟩
S
=
U
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
S
{\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{S}=U|\Psi (t_{0})\rangle _{S}}
Observable
A
H
(
t
)
=
U
−
1
A
S
U
{\displaystyle A_{H}(t)=U^{-1}A_{S}U}
A
I
(
t
)
=
U
0
−
1
A
S
U
0
{\displaystyle A_{I}(t)=U_{0}^{-1}A_{S}U_{0}}
constant
Opérateur d'évolution
H
^
=
H
^
0
+
V
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}
U
(
t
,
t
0
)
=
e
−
i
ℏ
H
^
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}}
U
0
(
t
,
t
0
)
=
e
−
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle U_{0}(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}}
Si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, dans la représentation traditionnelle appelée représentation de Schrödinger , les observables ne dépendent pas du temps et l'état dépend du temps. Par une transformation unitaire, on peut passer à la représentation de Heisenberg , où l'état est indépendant du temps et les observables dépendent du temps suivant l'équation ci-dessous :
d
d
t
A
=
1
i
ℏ
[
A
,
H
]
+
(
∂
A
∂
t
)
explicite
{\displaystyle {d \over {dt}}A={1 \over {i\hbar }}[A,H]+\left({{\partial A} \over {\partial t}}\right)_{\text{explicite}}}
D'après la loi de Stefan-Boltzmann , le flux d'énergie Φ émis par le corps noir varie en fonction de la température absolue T (en kelvin ) selon
Φ
=
σ
T
4
{\displaystyle \Phi =\sigma T^{4}}
où σ est la constante de Stefan-Boltzmann
La densité de flux d'énergie d Φ pour une longueur d'onde λ donnée est donné par la loi de Planck :
d
Φ
d
λ
=
2
π
c
2
h
λ
5
⋅
1
e
h
c
/
λ
k
T
−
1
{\displaystyle {\frac {d\Phi }{d\lambda }}={\frac {2\pi c^{2}h}{\lambda ^{5}}}\cdot {\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}
où c est la vitesse de la lumière dans le vide, h est la constante de Planck et k est la constante de Boltzmann .
Le maximum de ce spectre est donné par la loi de Wien :
λ
m
a
x
=
h
c
4,965
k
T
=
2,898
×
10
−
3
T
{\displaystyle \lambda _{max}={\frac {hc}{4{,}965\;kT}}={\frac {2{,}898\times 10^{-3}}{T}}}
.