En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré
, noté
, est le groupe des transformations géométriques d'un espace euclidien de dimension
qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique
sur
, espace vectoriel sur un corps commutatif
, comme le sous-groupe du groupe linéaire
constitué des automorphismes
de
qui laissent
invariante :
pour tout vecteur
de
. La loi de composition de ce groupe est la composition des applications.
Dans cet article,
désigne un corps commutatif et
un espace vectoriel de dimension finie non nulle
sur
et
désigne une forme quadratique non dégénérée sur
.
L'ensemble des éléments
du groupe linéaire
de
tels que
pour tout vecteur
de
est un groupe pour la composition des applications. On l'appelle groupe orthogonal de
et on le note
ou
; ses éléments sont les applications orthogonales (pour
),
Exemple. Un cas important est celui de la forme quadratique suivante (en supposant que la caractéristique de
est différente de
) :
, et
est la forme quadratique canonique :

Le groupe orthogonal correspondant est noté
, ou
. Il est appelé groupe orthogonal standard de degré
sur
. Il s'identifie canoniquement au groupe des matrices orthogonales
(une matrice est dite orthogonale si sa transposée est son inverse). La loi interne de ce groupe est la multiplication matricielle. C'est un sous-groupe du groupe linéaire
.
Le déterminant de tout élément de
est égal à
ou à
.
Si la caractéristique de
est différente de
, l'ensemble
des éléments de
dont le déterminant est
est un sous-groupe de
, que l'on appelle groupe spécial orthogonal de
et on le note
ou
. Dans le cas de l'exemple vu plus haut, on le note aussi
ou
. Donc
est le groupe des matrices orthogonales d'ordre
dont le déterminant est
.
est un sous-groupe d'indice
de
, et donc
est un sous-groupe d'indice
de
.
En caractéristique
, le déterminant de tout élément de
est
, et la définition du groupe spécial orthogonal est alors tout autre.
Les
et, si la caractéristique de
est différente de
, les
sont des groupes algébriques : si
est un corps infini, il est un fermé de
pour la topologie de Zariski. Dans le cas du groupe
, il suffit d'observer que c'est l'ensemble des zéros de l'application polynomiale
de
(espace des matrices carrées) dans lui-même.
Dans cette section on suppose que
est le corps
des nombres réels.
Si
est définie positive, alors
et
sont isomorphes à
et
. On les note
et
.
Géométriquement,
est le groupe des isométries euclidiennes de
qui préservent l'origine (ou, ce qui est équivalent, appartiennent à
),
son sous-groupe des éléments qui préservent l'orientation (isométries directes).
est isomorphe (en tant que groupe de Lie, voir plus loin) au cercle
, formé des nombres complexes de module
, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre complexe
à la matrice orthogonale
Le groupe
est souvent appelé groupe des rotations (vectorielles) dans l'espace (tridimensionnel).
Les groupes
et
sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie
(par exemple :
est fermé dans
— et même dans
— car c'est l'image réciproque du singleton
par l'application continue
). Ce sont donc des groupes de Lie réels. Leurs dimensions sont égales à
.
Ce sont même des groupes de Lie compacts car ils sont non seulement fermés dans
mais bornés (la norme d'opérateur de toute isométrie est égale à 1).
est d'ailleurs un sous-groupe compact maximal de
. C'est même le seul à isomorphisme près, puisque tout sous-groupe compact de
est conjugué d'un sous-groupe de
.
Le groupe
a deux composantes connexes car sa composante neutre (en) est
.
L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie
et
est formée des matrices carrées d'ordre
qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée
ou
.
En termes de topologie algébrique, pour
, le groupe fondamental de
est d'ordre
et son revêtement universel est
(le groupe spinoriel). Pour
, le groupe fondamental est
et le revêtement universel est
.
Si
est le corps
des nombres complexes, alors
et
sont isomorphes à
et
.
De manière analogue aux groupes orthogonaux euclidiens (en remplaçant
par
),
et
sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie
et sont donc des groupes de Lie complexes. Leurs dimensions (sur
) sont égales à
.
Si
, les groupes topologiques
et
ne sont pas compacts, mais
et
sont des sous-groupes compacts maximaux de ces groupes.
La composante neutre de
est
.
L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie
et
est formée des matrices complexes carrées d'ordre
qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée
ou
.
Pour
, le groupe fondamental de
est d'ordre
et son revêtement universel est le groupe spinoriel complexe
. Pour
, le groupe fondamental est
et le revêtement universel est
.
On suppose que
est le corps
des nombres réels ou le corps
des nombres complexes.
et
sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie
(ils sont même fermés dans
) et sont donc des groupes de Lie sur
. Les dimensions de
et
sur
sont égales à
.
Si
, ou si
et si
est définie positive ou négative, alors
et SO(q) s'identifient à
et
. Si K = R et si q est indéfinie (en), alors la composante neutre
de
est d'indice
dans
donc d'indice
dans
(
est isomorphe au groupe de Klein
).
L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie
et
, notée
ou
, est canoniquement isomorphe à la sous-
-algèbre de Lie de
constituée des endomorphismes
de
tels que
où
désigne la forme bilinéaire symétrique associée à
.
Le groupe spinoriel
est un sous-
-groupe de Lie du groupe des inversibles de
(l'algèbre de Clifford). De plus,
est un
-revêtement de
si
, et de la composante neutre
de
si
L'algèbre de Lie de
s'identifie canoniquement à
.