En mathématiques, le lemme d'estimation (aussi appelé lemme d'estimation standard^[1]) donne un majorant (du module) d'une intégrale curviligne complexe. Ce lemme est très utilisé en analyse complexe pour montrer que l'intégrale le long d'une partie d'un contour tend vers zéro en passant à une certaine limite. On peut ainsi calculer exactement certaines intégrales en utilisant le théorème des résidus.

Si f est une fonction d'une variable complexe et à valeurs complexes, continue sur le chemin rectifiable γ, on a :

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z\right|\leq \mathrm {L} (\gamma )\max _{z\in \mathrm {Im} \,\gamma }|f(z)|}$

où L(γ) est la longueur du chemin rectifiable. À noter que la borne supérieure existe et est atteinte (c'est donc un maximum) car l'image d'un chemin rectifiable est compacte et f est continue. Attention ici à ne pas confondre Im γ qui désigne ici l'image du chemin γ, c'est-à-dire un sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, avec la partie imaginaire de γ.

On peut justifier intuitivement le lemme comme suit : en subdivisant le chemin γ en n-1 petits arcs d'extrémités successives z₁,..., z_n, on approche l'intégrale curviligne par une somme de Riemann :

${\displaystyle I=\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z\approx \sum _{k=1}^{n-1}f(c_{k})(z_{k+1}-z_{k})}$

où c_k est un point arbitraire de l'arc joignant z_k à z_k+1. Le module de chaque terme de la somme est majoré par M |z_k+1 – z_k|, où M est le maximum de |f| sur γ et |z_k+1 – z_k| est la longueur de la corde joignant z_k à z_k+1. Comme la somme des longueurs de ces cordes approche la longueur du chemin γ, on peut s'attendre^{[Note 1]} à la majoration |I| ≤ M L(γ).

Soit ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} ,t\mapsto \gamma (t)}$, un chemin de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ par morceaux, on a :

${\displaystyle |I|=\left|\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z\right|=\left|\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\mathrm {d} t\right|}$

ce que l'on peut majorer comme suit :

${\displaystyle |I|\leq \int _{a}^{b}\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}$

En majorant le module de f sur le chemin et par définition de la longueur d'un arc, on a :

${\displaystyle |I|\leq \max _{t\in [a,b]}|f(\gamma (t))|\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t{\text{ et }}\mathrm {L} (\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}$

d'où finalement :

${\displaystyle |I|\leq \mathrm {L} (\gamma )\max _{z\in \mathrm {Im} \,\gamma }|f(z)|}$

On cherche à montrer que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}.}$

Pour cela, on considère un lacet constitué de deux parties : une première est le demi-cercle de centre 0 et de rayon a > 1, contenu dans le plan supérieur, parcouru dans le sens direct que l'on note γ_a (illustré à la figure 2 ci-contre) et la seconde est le segment [–a, a]. Notons f l'intégrande de l'intégrale que nous cherchons à calculer, c'est-à-dire

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}.}$

C'est une fonction méromorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dont les pôles (doubles) sont situés en z = ± i. Seul le pôle en z = i est à l'intérieur du lacet et le résidu en ce point est :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,+i)=\lim _{z\to i}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left({\frac {(z-\mathrm {i} )^{2}}{(z^{2}+1)^{2}}}\right)={\frac {1}{4\mathrm {i} }}}$

où la dérivée d'ordre 1 vient du fait que le pôle est double.

D'après le théorème des résidus, quel que soit a > 1 :

${\displaystyle (*)\qquad \int _{-a}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+1)^{2}}}+\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}=2\pi \mathrm {i} \,\mathrm {Res} (f,+\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}.}$

On cherche ensuite à passer à la limite quand ${\displaystyle a\to +\infty }$, on a besoin de trouver en fonction de a un majorant pour :

${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|}$

que l'on va obtenir grâce au lemme d'estimation. La longueur du chemin est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon a ; on a donc :

${\displaystyle \mathrm {L} (\gamma _{a})=\pi a}$

On cherche ensuite un majorant M_a pour le module de l'intégrande sur le chemin. Par inégalité triangulaire, on a :

${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}+1-1|\leq |z^{2}+1|+1}$

Par conséquent, sur le chemin γ_a,

${\displaystyle |z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$

Ainsi, ${\displaystyle \forall z\in \gamma _{a}}$ :

${\displaystyle \left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}=M_{a}}$

En appliquant le lemme, on a donc  :

${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}}}$

Il en résulte que

${\displaystyle \lim _{a\to +\infty }\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}=0.}$

Par passage à la limite ${\displaystyle a\to +\infty }$ dans ${\displaystyle (*)}$, on en déduit la relation annoncée.

• Lemme de Jordan

(en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 1999, 4^e éd. (ISBN 0-387-98592-1)

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