Pour les articles homonymes, voir Poisson (homonymie).

Ne doit pas être confondu avec Loi de Fisher.

Loi de Poisson
Fonction de masse Les fonctions de masse ne sont définies que pour les entiers k.
Fonction de répartition Les fonctions de répartition sont discontinues en chaque entier naturel.
Paramètres	${\displaystyle \lambda \in {}]0,+\infty [}$[note 1]
Support	${\displaystyle \mathbb {N} }$
Fonction de masse	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!{\text{ pour }}k\geq 0}$
Espérance	${\displaystyle \lambda \,}$
Médiane	${\displaystyle {\text{environ }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
Mode	${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }$ si ${\displaystyle \lambda }$ est un réel non entier, ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \lambda -1}$ si ${\displaystyle \lambda }$ est un nombre entier
Variance	${\displaystyle \lambda \,}$
Asymétrie	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle \lambda ^{-1}\,}$
Entropie	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}.}$ Pour ${\displaystyle \lambda }$ grand : ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi \mathrm {e} \lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle \exp(\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1))}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \exp(\lambda (\mathrm {e} ^{it}-1))\,}$
Fonction génératrice des probabilités	${\displaystyle \exp(\lambda (t-1))}$
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En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixé, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne ou espérance connue, et indépendamment du temps écoulé depuis l'événement précédent.

La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'événements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

La loi de Poisson a été introduite en 1837 par le mathématicien français Siméon Denis Poisson^[1], dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile^[2]. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné^[3].

La loi de Poisson s'applique à un décompte d'évènements par intervalle de temps (ou parfois par intervalle de longueur, etc.). À titre d'exemple, on peut considérer le nombre de voitures franchissant un point donné sur une route par période de T = dix minutes. Le paramètre λ est le nombre moyen attendu. Pour que la loi soit applicable, on considère que les évènements (les passages des voitures) sont indépendants. La loi ne s'appliquera donc plus si des voitures roulent ensemble, en convoi, ou s'il y a un embouteillage : à ce moment les voitures interagissent et leur passage n'est plus indépendant^[4].

• 
  Le nombre de voitures qui passent sur le Golden Gate dans un laps de temps donné peut être modélisé par une loi de Poisson.
• 
  64 grains de riz ont été jetés sur une grille de 64 cases. Le nombre de grains par case suit une loi de Poisson, ʎ=1.

Si le nombre moyen d'occurrences dans un intervalle de temps fixé est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2…) est^[1] :

${\displaystyle p(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }}$

où :

• e est le nombre d'Euler (e ≈ 2,718)^[1] ;
• k! est la factorielle de k. Il correspond à la valeur étudiée ;
• λ est un nombre réel strictement positif (λ > 0^{[note 1]}). Il correspond à la moyenne théorique de l'échantillon et à sa variance^[1].

On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre λ, noté ${\displaystyle X\sim \operatorname {\mathcal {P}} \left(\lambda \right)}$^[5].

Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 2,1 fois par an, pour étudier le nombre d'événements se produisant l'an prochain, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 2,1^[1].

On peut trouver l'écriture de la loi de Poisson à partir de la loi binomiale. En reprenant les mêmes notations (la période de temps est notée ${\displaystyle T}$, l'espérance ${\displaystyle \lambda }$), on divise la période ${\displaystyle T}$ en ${\displaystyle n}$ « petites » périodes égales ${\displaystyle (n>\lambda )}$. En première approximation la probabilité ${\displaystyle p_{n}}$ d'avoir une occurrence de l'évènement pendant la période ${\displaystyle T/n}$ vaut ${\displaystyle \lambda /n}$. On peut alors approximer ${\displaystyle p(k)}$ par une loi binomiale : c'est la probabilité d'obtenir ${\displaystyle k}$ succès sur les ${\displaystyle n}$ essais :

$${\displaystyle \mathrm {B} _{n}(k)={n \choose k}\times p_{n}^{k}\times (1-p_{n})^{n-k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\times \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}}$$

Ce n'est cependant qu'une approximation : en effet, il existe une probabilité non nulle que deux occurrences de l'évènement surviennent pendant la même période ${\displaystyle T/n}$, ce qui en l'état n'est pas pris en compte par le calcul. Néanmoins, si on fait tendre ${\displaystyle n}$ vers l'infini, cette probabilité tend vers 0. La loi de Poisson se retrouve donc comme étant la limite du calcul ci-dessus pour ${\displaystyle n}$ très grand^[6].

Pour ${\displaystyle n}$ très grand, ${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}$ devient équivalent à ${\displaystyle n^{k}}$. On a donc, en plaçant en facteur ${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}\times \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}{\underset {\overset {n\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}{\frac {n^{k}}{k!}}\times {\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$ :

$${\displaystyle \mathrm {B} _{n}(k){\underset {\overset {n\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}}$$

On fait appel à l'une des définitions possibles de la fonction exponentielle :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=\mathrm {e} ^{-\lambda }}$

Par ailleurs, ${\displaystyle k}$ étant constant :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1}$

On retrouve donc l'expression de la loi de Poisson^[6] :

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {B} _{n}(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }}$$

La calcul des valeurs peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0 ; T] les fonctions F_k(t), qui donnent la probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes^[7].

On garde les mêmes hypothèses de départ : en moyenne ${\displaystyle \lambda }$ évènements pour t=1, évènements indépendants. Dans cette démarche, on note ${\displaystyle P(k,t)}$ la probabilité qu'il y ait k occurences de l'évènement pendant la période ${\displaystyle [0,t]}$. On note aussi que la probabilité étant constante dans le temps, le point de départ noté t=0 est arbitraire, ainsi la probabilité d'obtenir n occurences dans la période ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\Delta t]}$ ne dépend pas de ${\displaystyle t_{0}}$, elle vaut ${\displaystyle P(k,\Delta t)}$.

On s'intéresse à ${\displaystyle P(k,t+\Delta t)}$ Par indépendance, on a ${\displaystyle P(k,t+\Delta t)=P(k-1,t)\times P(1,\Delta t)+P(k-1,t)\times P(2,\Delta t)+...+P(0,t)\times P(k,\Delta t)}$ (on additionne toutes les combinaisons arrivant au total k). En prenant une valeur suffisamment petite de ${\displaystyle \Delta t}$, la probabilité d'avoir deux occurences (ou plus) de l'évènement dans l'interval de temps supplémentaire devient négligeable. Le traitement de l'intervall ${\displaystyle \Delta t}$ se simplifie : ${\displaystyle P(0,\Delta t)=1-\lambda }$ et ${\displaystyle P(0,\Delta t)=\lambda }$.

La relation se simplifie en ${\displaystyle P(k,t+\Delta t)=P(k,t)\times P(0,\Delta t)+P(k-1,t)\times P(1,\Delta t)=P(k,t)\times (1-\lambda )+\lambda \Delta t}$.

De qui permet d'obtenir une équation différentielle : ${\displaystyle {\frac {dP(k,t)}{dt}}=-\lambda P(k,t)+\lambda P(k-1,t)}$

Pour le cas n=0, on obtient ${\displaystyle {\frac {dP(0,t)}{dt}}=\lambda P(0,t)}$, équation différentielle de premier ordre dont la solution est ${\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }}$. Une fois connue l'expression pour ${\displaystyle k=0}$, on en déduit l'expression en ${\displaystyle k=1}$, et ainsi de suite. Ce processus itératif permet de retrouver l'expression générale de la loi de Poisson pour toute valeur de k.

Dans toute cette section, X est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ.

Le premier moment ordinaire, ou espérance, d'une loi de Poisson se calcule par la série entière de l'exponentielle^[8],[9] :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbb {E} [X]&=\sum _{k=0}^{+\infty }kP(X=k)\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\infty }{\lambda ^{k} \over (k-1)!}\\&=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\infty }{\lambda ^{k-1} \over (k-1)!}\\\\&=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda }\\&=\lambda \\\end{alignedat}}}$

Les trois moments ordinaires suivants de la loi de Poisson sont donnés par^[10] :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathbb {E} [X^{2}]&=&\lambda (1+\lambda )\\\mathbb {E} [X^{3}]&=&\lambda (1+3\lambda +\lambda ^{2})\\\mathbb {E} [X^{4}]&=&\lambda (1+7\lambda +6\lambda ^{2}+\lambda ^{3})\end{array}}}$

On en déduit la variance et l'écart type^[10] :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}V(X)&=&\lambda \\\sigma (X)&=&{\sqrt {\lambda }}\end{array}}}$

Plus généralement, le n-ième moment ordinaire d'une loi de Poisson de paramètre λ est${\displaystyle \mathbb {E} (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}}$où S(n, k) est le nombre de Stirling de seconde espèce de paramètres n et k.

En particulier lorsque λ = 1, le n-ième moment de X correspond au n-ième nombre de Bell. En effet cela est une conséquence de la formule de Dobiński.

La borne suivante majore les moments d'une loi de Poisson^[11] : ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]\leq \left[{\frac {k}{\ln \left(k/\lambda +1\right)}}\right]^{k}\leq \lambda ^{k}\mathrm {e} ^{\frac {k^{2}}{2\lambda }}}$ Ils sont aussi reliés par la relation de récurrence^[12] :${\displaystyle \mathbb {E} [X^{n}]=\lambda \mathbb {E} [X^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [X^{n-1}]}{\partial \lambda }}}$

Les quatre premiers moments centrés d'une loi de Poisson sont donnés par^[10],[12] :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathbb {E} [(X-\lambda )^{2}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{3}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{4}]&=&\lambda (1+3\lambda )\\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{5}]&=&\lambda (1+10\lambda )\end{array}}}$

On en déduit l'asymétrie et le kurtosis normalisé :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\gamma _{1}(X)&=&1/{\sqrt {\lambda }}\\\gamma _{2}(X)&=&1/\lambda \end{array}}}$

On a la relation de récurrence^[12] :${\displaystyle \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n+1}]=n\lambda \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n}]}{\partial \lambda }}}$

Le r-ième moment factoriel d'une loi de Poisson est

${\displaystyle \mathbb {E} ((X)_{r})=\lambda ^{r}}$

où ${\displaystyle (x)_{r}=x(x-1)\dots (x-r+1)}$ désigne la factorielle décroissante.

La fonction génératrice des probabilités d'une loi de Poisson est^[8] :

${\displaystyle G_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (t^{X})=\mathrm {e} ^{\lambda (t-1)}.}$

La fonction génératrice des moments d'une loi de Poisson est^[13] :

${\displaystyle M_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1)}.}$

On reconnaît la série génératrice des polynômes de Touchard : autrement dit, le ${\displaystyle n}$-ième moment ${\displaystyle \mathbb {E} (X^{n})}$ est ${\displaystyle T_{n}(\lambda )}$.

Comme toute loi de probabilité discrète, la fonction de masse d'une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les fonctions de masse (bleu) et les fonctions de répartition (rouge) des lois de Poisson de paramètres λ = 1 ; 2 ; 3,4 et 6.

Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est proche de l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale (pour lesquelles des tables de valeurs étaient largement disponibles) en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests^[14].

Si les variables {X_i}_i=1,...,n sont indépendantes et suivent une loi de Poisson de paramètres respectifs λ_i, alors leur somme Y suit une loi de Poisson de paramètre la somme des λ_i^[8] :

${\displaystyle Y=\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim \operatorname {\mathcal {P}} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)}$

Un argument de type borne de Chernoff permet de déduire des bornes de queue suivantes, c'est-à-dire de valeurs majorant la probabilité que X s'éloigne de l'espérence au delà d'un x fixé^[15] :

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}}$ pour tout x > λ et

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}}$ pour tout x < λ.

Ces bornes peuvent se réécrire de la manière suivante^[16]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}$ pour tout x > 0 et

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq -x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left(-{\frac {x}{\lambda }}\right)}}$ pour tout λ > x > 0

où ${\displaystyle h(u):=2{\frac {(1+u)\ln(1+u)-u}{u^{2}}}}$ pour tout ${\displaystyle u\geq -1}$. Ces dernières bornes impliquent en particulier la borne suivante^[16] (qui est plus faible mais plus agréable à manipuler)

${\displaystyle \mathbb {P} (|X-\lambda |\geq x)\leq 2\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2(\lambda +x)}}}}$.

La borne supérieure donnée par Chernoff peut être améliorée d'un facteur 2 au moins^[17]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}{\max \left\{2,{\sqrt {{\frac {2\pi x^{2}}{\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}\right\}}}}$ pour tout x > 0.

Il est à noter que la fonction h est liée à la divergence de Kullback-Leibler entre une loi de Poisson de paramètre x + λ et une loi de Poisson de paramètre λ. En effet on a la relation

${\displaystyle D_{KL}(x+\lambda ||\lambda )=(x+\lambda )\ln \left({\frac {x}{\lambda }}+1\right)-x={\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}$.

L'estimateur par maximum de vraisemblance du paramètre λ d'un échantillon issu d'une loi de Poisson est la moyenne empirique. C'est un estimateur convergent, sans biais, efficace, complet, exhaustif.

Un algorithme simple pour simuler la loi de Poisson consiste à utiliser le résultat suivant :

La méthode de la transformée inverse permet de donner une façon simple de générer un tirage aléatoire suivant une loi exponentielle :

Si U suit une loi uniforme sur [0 ; 1], alors E = –1/λln(U) suit une loi exponentielle de paramètre λ.

En générant les ${\displaystyle E_{i}}$ par l'intermédiaire de variables aléatoires ${\displaystyle U_{i}\sim {\mathcal {U}}[0,1]}$, On a ainsi ${\textstyle S_{n}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \left(\prod _{i=1}^{n}U_{i}\right)}$ et, en notant ${\textstyle P_{n}:=\prod _{i=1}^{n}U_{i},n\geq 1}$ : ${\textstyle S_{n}\leq 1<S_{n+1}\Leftrightarrow P_{n}\geq \mathrm {e} ^{-\lambda }>P_{n+1}\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}}$

L'algorithme peut ainsi se simplifier en :

• k ← 0, p ← 1
• tant que p > e^–λ
  • on tire u selon un tirage aléatoire uniforme sur [0 ; 1]
  • p ← p×u
  • k ← k+1
• on renvoie k – 1

• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et μ, alors X – Y est une variable aléatoire qui suit une loi de Skellam de paramètres (λ,μ).
• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors la loi conditionnelle de X sachant X + Y est une loi binomiale.
• Pour de grandes valeurs de λ, on peut approcher la loi de Poisson par la loi normale de moyenne λ et de variance λ.

Le décompte des événements rares se fait souvent au travers d'une somme de variables de Bernoulli, la rareté des événements se traduisant par le fait que les paramètres de ces variables de Bernoulli sont petits (ainsi, la probabilité que chaque événement survienne est faible). Le lien entre la loi de Poisson et les événements rares peut alors s'énoncer ainsi :

L'inégalité de Le Cam précise le paradigme de Poisson : soit ${\displaystyle X_{1,n},X_{2,n},\dots ,X_{a_{n},n}\ }$ un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs p_k,n. On note

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,X_{k,n}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{n}\ =\ \mathbb {E} [S_{n}]=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}.\ }$

Inégalité de Le Cam^[18] — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,${\displaystyle \left|\mathbb {P} \left(S_{n}\in A\right)-\sum _{k\in A}\,{\frac {\lambda _{n}^{k}\,\mathrm {e} ^{-\lambda _{n}}}{k!}}\right|\ \leq \ \sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}.}$

En particulier, si les deux conditions suivantes sont réunies :

• ${\displaystyle \lim _{n}\lambda _{n}\,=\,\lambda >0,\ }$
• ${\displaystyle \lim _{n}\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}\,=\,0,\ }$

alors S_n converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre λ.

Dans l'énoncé du paradigme de Poisson, on fait deux hypothèses (vagues) sur les termes d'une somme S_n de variables de Bernoulli :

• les paramètres des variables de Bernoulli sont petits ; or les deux conditions ci-dessus entraînent que

${\displaystyle \lim _{n}\,\left(\max _{1\leq k\leq a_{n}}\,p_{k,n}\right)\,=\,0,\ }$ ce qui reformule l'hypothèse « les paramètres des variables de Bernoulli sont petits » de manière plus précise ;

• il y a un grand nombre de termes ; or les deux conditions ci-dessus entrainent que le nombre de termes tend vers l'infini :

${\displaystyle \lim _{n}a_{n}\,=\,+\infty .\ }$

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz). Mais, depuis la fin du XX^e siècle, son champ d'application s'est considérablement élargi^[20].

La loi de Poisson est utilisée pour prédire la fréquence des évènements de désintégration radioactive d'un isotope instable, par exemple dans le contexte de la médecine nucléaire. Elle présente des limites dans le cas d'isotopes à courte durée de vie, mais constitue une excellante approximation dans presque tous les cas pratiques^[21].

On l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné)^[22], le contrôle de qualité statistique (nombre de défauts en maîtrise statistique des procédés)^[23].

En biologie, la loi de poisson est utilisée prédire l'occurence mutations génétiques dans l'expérience de Luria et Delbrück^[24], ou nombre de potentiels d'actions émis par un neurone en neurosciences).

Elle est utilisée pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit, ou pour le yield management des compagnies aériennes^[25].

La loi de Poisson est également utilisable dans le cadre sportif. Elle peut être utilisée afin d'effectuer des prédictions statistiques sur le nombre de buts inscrits lors d'un match. Les probabilités issues de ce modèle permettent aux bookmakers de définir leurs cotes^[26].

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville de Londres durant la Seconde Guerre mondiale^[27].

Dans le roman Jurassic Park de Michael Crichton, le mathématicien Ian Malcolm utilise la loi de Poisson pour modéliser la démographie d'un groupe de dinosaures et ainsi démontrer qu'il y a une anomalie dans le contrôle des naissances dans le parc^[28].

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• Arthur Charpentier, « La loi des petits nombres », sur Freakonometrics, 2014

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