En mathématiques, une difféotopie est une classe d'équivalence pour la relation d’isotopie entre difféomorphismes sur une variété différentielle. Plus explicitement, étant donnés deux difféomorphismes sur une telle variété M, c’est-à-dire deux applications φ0, φ1 : M → M différentiables et bijectives avec des réciproques différentiables, on dit que ces difféomorphismes sont isotopes s’il existe une famille de difféomorphismes φt pour t ∈ ]0, 1[ telle que Φ : (t, x) ↦ φt(x) définisse une application différentiable sur [0, 1] × M.
L’ensemble des difféotopies (préservant le bord) sur une surface connexe compacte et orientée est un groupe souvent appelé sous sa dénomination en anglais mapping class group. Pour une surface Σ on trouve la notation avec un « M » gothique 𝔐(Σ). À l’aide de la classification des surfaces compactes, il peut aussi être noté Γg,n pour une surface de genre g avec n composantes de bord[1].
Une homéotopie est une classe d’équivalence pour la relation d’isotopie entre homéomorphismes. Cette notion est en général plus large que celle de difféotopie, mais coïncide[2] dans le cas d’une variété de dimension 2.
Notes et références
- ↑ Richard Hain, Eduard Looijenga, Mapping Class Group and Moduli Spaces of Curves, page 4, sur ArXiv (1996).
- ↑ Florian Deloup (Université de Toulouse), Le Groupe des Difféotopies de Surface, page 9.
