En dynamique des populations, le modèle de Verhulst a été proposé par Pierre François Verhulst vers 1840^[1],[2]. Il a proposé ce modèle de croissance en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population.

Le modèle de Verhulst fait l'hypothèse que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsqu'une population est de petite taille, elle a tendance à croître.

Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés.

Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique ; et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique.

Si on appelle :

• y la taille de la population ;
• m(y) le taux de mortalité ;
• n(y) le taux de natalité,

alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'équation différentielle :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=y\cdot \left(n(y)-m(y)\right)}$

Si m et n sont des fonctions affines de y, respectivement croissante et décroissante (natalité : favorisée par une population limitée ayant un accès aisé aux ressources ; mortalité : favorisée par une population nombreuse donc vieillissante et en concurrence pour les ressources), alors n – m est une fonction affine globalement décroissante (n étant décroissante et –m également).

Cette fonction n(y) – m(y) est le taux net de croissance de la population y ; Verhulst postule qu’il diminue à mesure que la population augmente: autrement dit, plus l’effectif de la population augmente, plus il lui est difficile d’augmenter (la population finit par avoir une tendance à stagner).

L’observation du réel pousse également Verhulst à poser que pour de petits effectifs de population y, le taux net de croissance de cette population n(y) – m(y) est strictement positif et potentiellement plutôt élevé (la population est initialement en croissance, car les conditions sont favorables — ex. nourriture abondante au regard de l’effectif total) ; tandis que pour de grands effectifs, le taux net de croissance tend à se réduire voire devenir nul (conditions défavorables à la croissance : vieillissement, concurrence accrue pour les ressources limitées).

Ce postulat revient à dire que pour y tendant vers 0 (population initiale), le taux net de croissance est positif. Ce taux étant une fonction affine décroissante de y ie. n(y) – m(y) = a - by, alors pour des valeurs faibles de y, n(y) – m(y) reste au voisinage de sa valeur initiale a = n(0) - m(0) avec a > 0.

En substituant n(y) – m(y) par a - by, l'équation peut s'écrire :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=y\cdot (a-b\cdot y)}$ avec a et b deux réels positifs : c'est là le cœur du modèle de croissance exponentielle proposé par Verhulst^[3].

En effet, en distribuant, on obtient ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=a\cdot y-b\cdot y^{2}}$, puis en factorisant avec K = a/b, l'équation prend sa forme dite « logistique » et devient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=a\cdot y\cdot \left(1-{\frac {y}{K}}\right)\quad {\text{avec}}\quad a,K>0.}$

Une observation immédiate montre que :

• la fonction constante y = K est solution de cette équation ;
• si y < K alors la population croît ;
• si y > K alors la population décroît.

Le paramètre K est appelé la capacité d'accueil ou capacité de charge : la population s’approche asymptotiquement de K.

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante) :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=\alpha \cdot y\cdot (K-y)=\alpha \cdot K\cdot y\cdot \left(1-{\frac {y}{K}}\right).}$

La recherche des fonctions strictement positives définies sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$ et vérifiant le système :

• ${\displaystyle y(0)=y_{0}~}$
• ${\displaystyle y'=a\cdot y\cdot \left(1-{\frac {y}{K}}\right)}$

conduit à la solution logistique :

${\displaystyle y(t)=K{\frac {1}{1+\left({\frac {K}{y_{0}}}-1\right)\cdot e^{-a\cdot t}}}}$

où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil, et décroissante sinon.

En temps discret, le modèle se transforme en :

${\displaystyle u_{n+1}-u_{n}=a\cdot u_{n}\cdot \left(1-{\frac {u_{n}}{K}}\right)}$.

Puis, en posant :

• ${\displaystyle a+1=\mu }$,
• ${\displaystyle v_{n}={\frac {a\cdot u_{n}}{\mu \cdot K}}}$,

la relation de récurrence devient :

${\displaystyle v_{n+1}=\mu \cdot v_{n}\cdot (1-v_{n})\,}$.

C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Bien que simple par son expression, elle peut conduire à des résultats très variés.

• Nicolas Bacaër, Histoires de mathématiques et de populations, Éditions Cassini, coll. « Le sel et le fer », 2008, 212 p. (ISBN 9782842251017), « Verhulst et l'équation logistique »
• Bernard Delmas, « Pierre-François Verhulst et la loi logistique de la population », Mathematics and Social Sciences, vol. 167,‎ 2004 (lire en ligne)
• Pierre-François Verhulst, « Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement », Correspondance mathématique et physique, n^o 10,‎ 1838, p. 113-121 (lire en ligne)
• Pierre-François Verhulst, « Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population », Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, n^o 18,‎ 1845, p. 1-42 (lire en ligne)
• Pierre-François Verhulst, « Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, n^o 20,‎ 1847, p. 1-32 (lire en ligne)

• Modèle de Malthus

• Modèle évolutif r/K
• Équations de compétition de Lotka-Volterra

• Christelle Magal, Mathématiques en dynamiques des populations [PDF]

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