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Module d'élasticité
Description de cette image, également commentée ci-après
Un module d'élasticité est le rapport entre une contrainte et la déformation relative qui en résulte.
Données clés
Unités SI pascal (MPa, GPa)
Dimension M·L −1·T −2
Nature Grandeur tensorielle intensive
Symbole usuel Suivant le module considéré : E, G, K, λ, ν, M, P-wave modulus

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La connaissance du module et son évolution en fonction de T sont nécessaires pour la sélection du matériau le plus adapté.

Un module d'élasticité (ou module élastique ou module de conservation) est une grandeur intrinsèque d'un matériau, définie par le rapport d'une contrainte à la déformation élastique provoquée par cette contrainte. Les déformations étant sans dimension, les modules d'élasticité sont homogènes à une pression et leur unité SI est donc le pascal ; en pratique on utilise plutôt un multiple, le MPa ou le GPa. On utilise également le giganewton par mètre carré (GN/m²) et dans le système d'unités impériales, le ksi[1].

Le comportement élastique d'un matériau homogène isotrope et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d'élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d'élasticité, sur un total de six modules : E, G, K, M, ν[2] et λ. L'utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature[3].

En ingénierie structurelle, le choix le plus courant est la paire module de Young et coefficient de Poisson (E, ν) ; la paire équivalente (E, G) est aussi utilisée. Le module E (lié à la raideur) est souvent utilisé en acoustique.

La connaissance des caractéristiques rhéologiques en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de viscosités sont souvent importantes. Voir aussi Température de transition vitreuse (Tv) et Thermostabilité.

Typologie

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Selon le type de déformation[4], le module d'élasticité d'un matériau peut être :

  • le module de Young ou de traction, d'élasticité longitudinale, de compression, de flexion (Ef), souvent appelé simplement « module d'élasticité » (E) ;
  • le module de cisaillement ou d'élasticité tangentielle, de torsion (Gto), etc. (G) ;
  • le module d'élasticité isostatique ou de compressibilité, de compression en flambage, etc. (K) ;
  • ou le module d'onde de compression ou d'onde plane (L[5] ou M).

Divers types de modules d'élasticité correspondant aux différents types de déformation (exemples) :

Nom Comportement du matériau Loi de comportement
Module de traction Soumis à une contrainte uniaxiale σ E {\displaystyle {\rm {\sigma _{E}}}} {\displaystyle {\rm {\sigma _{E}}}}, l'échantillon subit une dilatation linéaire ε E {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{E}}}} {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{E}}}} faible par rapport à l'épaisseur. σ E = E t   ε E {\displaystyle \sigma _{\text{E}}=E_{\text{t}}\ \varepsilon _{\text{E}}} {\displaystyle \sigma _{\text{E}}=E_{\text{t}}\ \varepsilon _{\text{E}}}
Module de cisaillement Soumis à une contrainte de cisaillement[6] σ C {\displaystyle {\rm {\sigma _{C}}}} {\displaystyle {\rm {\sigma _{C}}}}, l'échantillon subit une déformation ε C {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{C}}}} {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{C}}}} sans changer de volume. σ C = G s   ε C {\displaystyle \sigma _{\text{C}}=G_{\text{s}}\ \varepsilon _{\text{C}}} {\displaystyle \sigma _{\text{C}}=G_{\text{s}}\ \varepsilon _{\text{C}}}
Module de compressibilité mécanique Soumis à une contrainte de compressibilité σ K {\displaystyle {\rm {\sigma _{K}}}} {\displaystyle {\rm {\sigma _{K}}}}, l'échantillon subit une variation de volume ε K {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{K}}}} {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{K}}}} sans changer de forme. σ K = K   ε K {\displaystyle \sigma _{\text{K}}=K\ \varepsilon _{\text{K}}} {\displaystyle \sigma _{\text{K}}=K\ \varepsilon _{\text{K}}}
Module en déformation uniaxiale Soumis à une contrainte de pseudo-compressibilité σ M {\displaystyle {\rm {\sigma _{M}}}} {\displaystyle {\rm {\sigma _{M}}}}, l'échantillon subit une variation de volume ε M {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{M}}}} {\displaystyle {\rm {\varepsilon _{M}}}} sans changer de forme.
La déformation résultante est grande par rapport à l'épaisseur.
σ M = L   ε M {\displaystyle \sigma _{\text{M}}=L\ \varepsilon _{\text{M}}} {\displaystyle \sigma _{\text{M}}=L\ \varepsilon _{\text{M}}}

Modules en régime dynamique

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Article connexe : Liste de grandeurs viscoélastiques.
Représentation dans le plan complexe.

En général, pour un matériau viscoélastique, il n'existe pas de relation contrainte ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } {\displaystyle \leftrightarrow } déformation (équation rhéologique) indépendante du temps (t), c'est le cas notamment du rapport contrainte sur déformation. Le rapport contrainte dynamique σ ( t ) {\displaystyle \sigma (t)} {\displaystyle \sigma (t)} sur déformation dynamique ε ( t ) {\displaystyle \varepsilon (t)} {\displaystyle \varepsilon (t)} d'un matériau viscoélastique soumis à une vibration sinusoïdale est appelé module complexe ou module dynamique ou module viscoélastique, noté M*[7]

M ∗ ( t ) = σ ( t ) ε ( t ) = M ′ ( t ) + i M ″ ( t ) = 1 C ∗ ( t ) {\displaystyle M^{*}(t)={\frac {\sigma (t)}{\varepsilon (t)}}=M'(t)+iM''(t)={\frac {1}{C^{*}(t)}}} {\displaystyle M^{*}(t)={\frac {\sigma (t)}{\varepsilon (t)}}=M'(t)+iM''(t)={\frac {1}{C^{*}(t)}}}
| M | 2 = ( σ A ε A ) 2 = ( M ′ ) 2 + ( M ″ ) 2 {\displaystyle |M|^{2}=\left({\frac {\sigma _{\text{A}}}{\varepsilon _{\text{A}}}}\right)^{2}=(M')^{2}+(M'')^{2}} {\displaystyle |M|^{2}=\left({\frac {\sigma _{\text{A}}}{\varepsilon _{\text{A}}}}\right)^{2}=(M')^{2}+(M'')^{2}}

avec :

M', le module de conservation, partie réelle de M*, représentant la composante élastique de M* et la rigidité du matériau viscoélastique ;
M'', le module de perte, partie imaginaire de M*, représentant la composante visqueuse de M* ;
C*, la complaisance complexe, pour un comportement viscoélastique linéaire ;
σ A {\displaystyle \sigma _{\text{A}}} {\displaystyle \sigma _{\text{A}}} et ε A {\displaystyle \varepsilon _{\text{A}}} {\displaystyle \varepsilon _{\text{A}}}, les amplitudes des cycles de contrainte et de déformation, respectivement.

Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.

Le schéma ci-dessus représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le plan complexe, dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; δ {\displaystyle \delta } {\displaystyle \delta } est l'angle de phase entre la contrainte et la déformation.

Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu'il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n'est fonction que de la fréquence (ou du temps) et de la température (T). À partir d'un niveau de déformation critique, le comportement de l'échantillon est non linéaire.

Un module viscoélastique est déterminé en DMA à partir de la géométrie et de la raideur dynamique de l'échantillon. Par exemple, les modules viscoélastiques E' et E'' d'un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l'échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques G' et G'' d'un produit solide, d'un (polymère) fondu, d'une résine, d'un bitume, etc., peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d'un rhéomètre dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la caractérisation se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.

La viscosité dynamique η' est proportionnelle à G''.

Notes et références

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  1. ↑ (en) James H. Allen III, Mechanics of Materials For Dummies, John Wiley & Sons, 15 juin 2011 (ISBN 978-1-118-08901-9, lire en ligne)
  2. ↑ D'après la norme (fr) ISO 6721-1:1994(F), Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 1 : Principes généraux, le coefficient de Poisson a pour symbole µ.
  3. ↑ D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), qui indique par exemple les références [1] et [2] citées dans la Bibliographie.
  4. ↑ À ne pas confrondre avec les modes de déformation que sont le fluage et la relaxation, liés à leur dépendance temporelle.
  5. ↑ D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), le module en compression uniaxiale (sur feuilles minces) a pour symbole Lc et le module en onde de compression longitudinale a pour symbole Lw.
  6. ↑ Cisaillement, en anglais : shear, d'où la notation Gs pour le module correspondant.
  7. ↑ À ne pas confrondre avec le module d'onde de compression, L ou M.

Voir aussi

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Bibliographie

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  • [1] Nederveen, C.J. et van der Wal, C.W., Rheol. Acta, 6 (4), p. 316 (1967)
  • [2] Read, B.E. et Dean, G.D., The determination of dynamic properties of polymers and composites, 207 p., Adam Hilger, Bristol, 1978 (ISBN 0-85274-363-7)

Articles connexes

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  • Coefficient de Lamé
  • Coefficient de sécurité
  • Complaisance
  • Déformation élastique
  • Essai mécanique
  • Facteur de forme
  • Module de relaxation
  • Module de Young
  • Notion de module
  • Loi de Hooke
  • Principe d'équivalence temps-température
  • Rhéologie des solides
  • Tenseur des constantes élastiques
v · m
Modules d'élasticité pour des matériaux homogènes et isotropes
  • Module d'Young (E)
  • Module de cisaillement (G)
  • Module d'élasticité isostatique (K)
  • Premier coefficient de Lamé (λ)
  • Coefficient de Poisson (ν)
  • Module d'onde de compression (M, P-wave modulus)
Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.

formules en 3D

( λ , G ) {\displaystyle (\lambda ,G)} {\displaystyle (\lambda ,G)}

( E , G ) {\displaystyle (E,G)} {\displaystyle (E,G)}

( K , λ ) {\displaystyle (K,\lambda )} {\displaystyle (K,\lambda )}

( K , G ) {\displaystyle (K,G)} {\displaystyle (K,G)}

( λ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\nu )} {\displaystyle (\lambda ,\nu )}

( G , ν ) {\displaystyle (G,\nu )} {\displaystyle (G,\nu )}

( E , ν ) {\displaystyle (E,\nu )} {\displaystyle (E,\nu )}

( K , ν ) {\displaystyle (K,\nu )} {\displaystyle (K,\nu )}

( K , E ) {\displaystyle (K,E)} {\displaystyle (K,E)}

( M , G ) {\displaystyle (M,G)} {\displaystyle (M,G)}

K [ P a ] = {\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=} {\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=}

λ + 2 G 3 {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}} {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}

E G 3 ( 3 G − E ) {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}} {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}

 

 

λ ( 1 + ν ) 3 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}

2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}

E 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}} {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}

 

 

M − 4 G 3 {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}} {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}

E [ P a ] = {\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=} {\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=}

G ( 3 λ + 2 G ) λ + G {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}} {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}

 

9 K ( K − λ ) 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}} {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}

9 K G 3 K + G {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}} {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}

λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}

2 G ( 1 + ν ) {\displaystyle 2G(1+\nu )\,} {\displaystyle 2G(1+\nu )\,}

 

3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle 3K(1-2\nu )\,} {\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}

 

G ( 3 M − 4 G ) M − G {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}} {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}

λ [ P a ] = {\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=} {\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=}

 

G ( E − 2 G ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}} {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}

 

K − 2 G 3 {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}} {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}

 

2 G ν 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}

E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} {\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}

3 K ν 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}

3 K ( 3 K − E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}} {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}

M − 2 G {\displaystyle M-2G} {\displaystyle M-2G}

G [ P a ] = {\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=} {\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=}

 

 

3 ( K − λ ) 2 {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}} {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}

 

λ ( 1 − 2 ν ) 2 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}

 

E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}} {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}

3 K ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}} {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}

3 K E 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}} {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}

 

ν [ 1 ] = {\displaystyle \nu \,[1]=} {\displaystyle \nu \,[1]=}

λ 2 ( λ + G ) {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}

E 2 G − 1 {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1} {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}

λ 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}

3 K − 2 G 2 ( 3 K + G ) {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}} {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}

 

 

 

 

3 K − E 6 K {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}} {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}

M − 2 G 2 M − 2 G {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}} {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}

M [ P a ] = {\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=} {\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=}

λ + 2 G {\displaystyle \lambda +2G} {\displaystyle \lambda +2G}

G ( 4 G − E ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}} {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}

3 K − 2 λ {\displaystyle 3K-2\lambda \,} {\displaystyle 3K-2\lambda \,}

K + 4 G 3 {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}} {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}

λ ( 1 − ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}

2 G ( 1 − ν ) 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}

E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}} {\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}

3 K ( 1 − ν ) 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}} {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}

3 K ( 3 K + E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}} {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}

 

formules en 2D

( λ 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}

( E 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}

( K 2 D , λ 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })}

( K 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}

( λ 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}

( G 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}

( E 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}

( K 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}

( K 2 D , E 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })}

( M 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} {\displaystyle (M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}

K 2 D [ N / m ] = {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}

λ 2 D + G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}

G 2 D E 2 D 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}

 

 

λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}

G 2 D ( 1 + ν 2 D ) 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}

E 2 D 2 ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}

 

 

M 2 D − G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}

E 2 D [ N / m ] = {\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} {\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}

4 G 2 D ( λ 2 D + G 2 D ) λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}

 

4 K 2 D ( K 2 D − λ 2 D ) 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}

4 K 2 D G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}

λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}

2 G 2 D ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,} {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}

 

2 K 2 D ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })} {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}

 

4 G 2 D ( M 2 D − G 2 D ) M 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}

λ 2 D [ N / m ] = {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}

 

2 G 2 D ( E 2 D − 2 G 2 D ) 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}

 

K 2 D − G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}

 

2 G 2 D ν 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}

E 2 D ν 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}

2 K 2 D ν 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}

2 K 2 D ( 2 K 2 D − E 2 D ) 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}

M 2 D − 2 G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }} {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}

G 2 D [ N / m ] = {\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} {\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}

 

 

K 2 D − λ 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}

 

λ 2 D ( 1 − ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}

 

E 2 D 2 ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}} {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}

K 2 D ( 1 − ν 2 D ) 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}

K 2 D E 2 D 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}

 

ν 2 D [ 1 ] = {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=} {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=}

λ 2 D λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}

E 2 D 2 G 2 D − 1 {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1} {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}

λ 2 D 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}

K 2 D − G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}

 

 

 

 

2 K 2 D − E 2 D 2 K 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}

M 2 D − 2 G 2 D M 2 D {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}

M 2 D [ N / m ] = {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}

λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }} {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}

4 G 2 D 2 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}

2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}

K 2 D + G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}

λ 2 D ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}

2 G 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}

E 2 D ( 1 − ν 2 D ) ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}} {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}

2 K 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}

4 K 2 D 2 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}

 

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