Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. C'est donc un cas particulier de nombre uniforme.

Ce terme est la francisation de l'anglais repunit, contraction de l'expression repeated unit (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler^[1].

En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique^[2] », « multi-as^[3] », ou « répun^[4] » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Les répunits en base dix sont définis par :

${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}\qquad {\mbox{pour }}n\geq 1.}$

Plus généralement, ils sont donnés en base b, par :

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {b^{n}-1}{b-1}}=\sum _{k=0}^{n-1}b^{k}\qquad {\mbox{pour }}n\geq 1.}$

Ainsi, le nombre R^(b)
_n s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1.

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base dix ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du XIX^e siècle, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique^[5].

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période du développement décimal de 1/p est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par p. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à 60 000 ont été publiés en 1860, et ont permis la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R₁₆ et plus. En 1880, même R₁₇ à R₃₆ ont été factorisés^[5] et il est curieux de constater que, bien que Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions n'avait une période égale à dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative en vue de tester ceci jusqu'au début du XX^e siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R₁₉ est premier^[6] et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment prouvé la primalité de R₂₃ en 1929. Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham a documenté entre autres les factorisations des répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne M_n = 2ⁿ – 1.

• Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
• Les répunits en base b forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : R^(b)
  _n = U_n(b + 1, b).
• Par conséquent^[7], leur PGCD suit la règle de divisibilité forte : ${\displaystyle {\rm {pgcd}}(R_{m}^{(b)},R_{n}^{(b)})=R_{{\rm {pgcd}}(m,n)}^{(b)}}$.En particulier, R^(b)
  _n est divisible par R^(b)
  _m si et seulement si n est divisible par m.

Les facteurs premiers colorés en rouge sont des "nouveaux facteurs", divisant ${\displaystyle R_{n}}$ mais ne divisant pas ${\displaystyle R_{k}}$ pour tout ${\displaystyle k<n}$ ; suite A102380 de l'OEIS^[8].

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2^[9], 3, 5, 6, 7, 10^[10],[11], 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, R^(b)
_n n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais R₃ = 111 = 3 × 37 est composé^[12].

Cependant, R⁽²⁾
₃ = 7 est premier. R^(b)
₃ est également premier pour b égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la suite suite A002384 de l'OEIS ; l'écriture en base dix de R⁽¹¹¹⁾
₃ est 12 433.

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité^[13].

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R^(b)
_p – 1 donc b^{R(b)
_p – 1} – 1 est divisible par R^(b)
_p. ${\displaystyle b^{R_{p}^{(b)}}\equiv b{\pmod {R_{p}^{(b)}}}}$ lorsque p est premier.

En base dix, on sait que R_n est premier pour onze valeurs de n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'OEIS). Les six plus grands répunits en base dix premiers connus en 2022 sont R_{49 081}, R_{86 453}, R_{109 297}, R_{270 343}, R_{5 794 777} et R_{8 177 207} ; ce sont des nombres premiers probables^[13],[14].

La liste des nombres premiers qui sont des repunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme suite A085104 de l'OEIS.

Tout répunit premier est trivialement premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base dix, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais ce fait n'est pas démontré dans sa généralité^[13].

Si n et b sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits R^(b)
₁, … , R^(b)
_n est un multiple de n.

L'astéroïde (11111) Repunit porte le nom de ces nombres^[15].

• Conjecture de Feit-Thompson
• Reimerp
• Nombre de Demlo

• (en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, 541 p. (ISBN 978-0-387-94457-9).
• Michel Demazure, Cours d'algèbre. Primalité Divisibilité. Codes, Cassini, 2008 [détail de l’édition]

• (en) Eric W. Weisstein, « Repunit », sur MathWorld
• Les nombres brésiliens, s'écrivant avec des chiffres tous égaux, dans Quadrature 76

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres