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En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un théorème d'unicité^[1],[2],[3] en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild^[4],[5],[6].

Tout espace-temps à symétrie sphérique satisfaisant à l'équation d'Einstein pour le vide doit avoir, en plus des trois champs de vecteur de Killing liés à la symétrie sphérique, un champ de vecteur de Killing supplémentaire^[8].

.

L'hypothèse de la symétrie sphérique implique, dans le vide, l'existence, au moins localement, de deux autres symétries : l'invariance par translation dans le temps (t = t + constante) et l'invariance par renversement du temps (t → −t). La région où la métrique possède ces deux symétries est celle où r > 2m. Une métrique ayant ces deux symétries est dite statique.

Une solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide est nécessairement statique^[9],[10] dans une région extérieure^[9] au rayon de Schwarzschild^[11].

Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la coordonnée t est de genre temps et les coordonnées r, θ et φ sont de genre espace^[10].

La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide^[12] (T_μν = 0) et en l'absence de constante cosmologique (Λ = 0). Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre M correspondant à la masse^[12]. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec r tel que l'aire des sphères — qui sont les orbites du groupe des rotations — soit 4πr^2[12]. Dans ce système de coordonnées et pour M > 0, la métrique présente une singularité à r = 2GM / c^2[12]. Dans la région r > 2GM / c², la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à r₀ > 2GM / c^2[12]. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique^[12].

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923^{[13],[14],[15]}.

À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer^[16] et de Hubert Goenner^[17], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt^[18] puis Stanley Deser et Joel Franklin^[19], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen (en)^[20]. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques^[21]. D'après Deser et Franklin^[19], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès 1923^[22] et par J. Eisland deux ans plus tard^[23].

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild^[24] : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant^[24].

Il existe des systèmes de coordonnées d'espace-temps ${\displaystyle (ct,r,\theta ,\varphi )}$ dans lesquels la métrique de Schwarzschild s'écrit^[25] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\,\mathrm {d} \tau ^{2}=-A(r)\,c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+B(r)\,\mathrm {d} r^{2}+C(r)\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\!(\theta )\,\mathrm {d} \varphi ^{2}}$ est la métrique d'une 2-sphère unité ;
• ${\displaystyle A(r)}$, ${\displaystyle B(r)}$ et ${\displaystyle C(r)}$ sont trois fonctions de la coordonnées ${\displaystyle r}$, indépendantes des trois autres coordonnées ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \varphi }$.

Un système à symétrie sphérique n'émet pas d'ondes gravitationnelles^[26].

Le théorème de Birkhoff généralise les deux théorèmes^[27] de la sphère de fer d'Isaac Newton^[10],[28]. Soit une couronne sphérique d'épaisseur négligeable, de masse M, de rayon R et de centre O à l'origine^[29]. Alors, en tout point extérieur (r > R) de la couronne, le potentiel^[30] et le champ^[31] de gravitation sont égaux à ceux d'un point de masse M situé en O^[29],[32]. D'autre part, en tout point intérieur (r < R) de la couronne, le potentiel de gravitation est constant^[30] et le champ de gravitation est nul^{[31],[29],[32]}. Autrement dit, l'intérieur d'une couronne sphérique de poussière, l'espace-temps est plat^[26].

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild^[33] :

${\displaystyle R>{\frac {2GM}{c^{2}}}=R_{\mathrm {S} }}$,

où :

• ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle M}$ son respectivement le rayon et la masse de l'étoile ;
• ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle G}$ sont respectivement la vitesse de la lumière dans le vide et la constante de la gravitation ;
• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ est le rayon de Schwarzschild.

Le théorème de Birkhoff étend l'application de la métrique de Schwarzschild. Le champ de gravitation à l'extérieur de la surface d'une étoile à symétrie sphérique est décrit par la métrique de Schwarzschild et ce, que l'étoile soit statique — c'est-à-dire en équilibre hydrostatique^[34] — ou qu'elle pulse, s'effondre ou s'expande radialement^{[35],[36],[37]}.

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire.

À l'extérieur d'un système qui n'est pas statique mais dont l'évolution temporelle préserve la symétrique sphérique, l'espace-temps est celui dont la géométrie est décrite par la métrique de Schwarzschild^[26].

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Il n'existe ni généralisation du théorème de Birkhoff ni analogue à celui-ci^[38] pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale^[39], notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation^[40].

En particulier, le théorème de Birkhoff ne s'applique pas à la métrique de Kerr^[41] pour laquelle il n'existe pas d'analogue connu à ce théorème^[42]. Il en résulte que la métrique de Kerr ne décrit qu'un trou noir homonyme^{[43],[44],[38]} : elle n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation, telle une étoile ou une planète^[38], y compris pendant son effondrement gravitationnel^[40] ; la métrique extérieure à un corps en rotation ne s'approche qu'asymptotiquement de celle de Kerr^[38].

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• [Schmutzer 1968] (de) Ernst Schmutzer, Relativistische Physik : Klassische Theorie, Leipzig, Teubner, 1968, 1^re éd., 974 p., 24 cm (OCLC 4501696, SUDOC 018917658).

Exemples de démonstration du théorème

• [Hawking et Ellis 1973] (en) Stephen W. Hawking et George F. R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », janvier 1973, 1^re éd., XI-391 p., 23 cm (ISBN 0-521-09906-4, 978-0-521-09906-6 et 0-521-20016-4, EAN 9780521099066, OCLC 299342801, BNF 37358308, DOI 10.1017/CBO9780511524646, SUDOC 004735110, présentation en ligne, lire en ligne), appendice B « Spherically symmetric solutions and Birkhoff's theorem », p. 369-372 (DOI 10.1017/CBO9780511524646.013, résumé).
• [Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John A. Wheeler et David I. Kaiser (avant-propos), Gravitation, Princeton, Princeton University Press, octobre 2017 (1^re éd. 1973), L-1279 p., 26 cm (ISBN 0-691-17779-1 et 978-0-691-17779-3, EAN 9780691177793, OCLC 1012380952, présentation en ligne, lire en ligne), § 32.2 (« Birkhoff's theorem »), p. 843-844.

Dictionnaires

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 976 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.« Birkhoff (théorème de) » (sens 1), p. 79, col. 2.

Communications et exposés

• [Bachelot 1993] Alain Bachelot, « La diffraction en métrique de Schwarzschild : complétude asymptotique et résonances », dans Centre de mathématiques Laurent-Schwartz, Équations aux dérivées partielles : séminaire 1992-1993, Palaiseau, École polytechnique, 1993, 1^re éd., 30 cm (ISBN 2-73-02-0267-6 (édité erroné) et 2-7302-0267-6, OCLC 492579008, BNF 35591062, SUDOC 078889499), exposé n^o VIII du 16 février 1993, 13 p. (lire en ligne [PDF]).
• [Bachelot 1996] Alain Bachelot, « Diffusion classique et quantique par un trou noir en formation », dans Centre de mathématiques Laurent-Schwartz, Équations aux dérivées partielles : séminaire 1995-1996, Palaiseau, École polytechnique, 1996, 1^re éd., 30 cm (ISBN 2-7302-0366-8 (édité erroné), OCLC 36684122, BNF 35843538, SUDOC 029139945), exposé n^o XV du 26 mai 1996, 18 p. (lire en ligne [PDF]).
• [Clément 2013] Gérard Clément, chap. 1^er « Relativité générale : solutions exactes stationnaires », dans Abdelhafid Bounames et Abdenacer Makhlouf (éd.) (préf. de Michel Dubois-Violette), Gravitation : théorie et expérience (actes de la 3^e École de physique théorique, tenue à l'université de Jijel du 26 septembre au 3 octobre 2009), Paris, Hermann, coll. « Travaux en cours / physique-mathématiques » (n^o 79), novembre 2013, 1^re éd., XI-448 p., 17 × 24 cm (ISBN 2-7056-8049-7 et 978-2-7056-8049-7, EAN 9782705680497, OCLC 870526477, SUDOC 176320997, présentation en ligne), p. 52 p. (Bibcode : 2011arXiv1109.0902C, arXiv:1109.0902, lire en ligne).
• [Le Bellac 2012] Michel Le Bellac, chap. 5 « Relativité générale », dans Freddy Bouchet, Basile Audoly et Jacques-Alexandre Sepulchre (éd.), Peyresq lectures on nonlinear phenomena, vol. 3, Singapour, World Scientific, novembre 2012, 1^re éd., IX-375 p., 15,8 × 23 cm (ISBN 978-981-4440-58-5, EAN 9789814440585, OCLC 874994970, SUDOC 177232897, présentation en ligne, lire en ligne), p. 155-239 (DOI 10.1142/9789814440592_0005, résumé).
• [Pugliese et Quevedo 2024] (en) Daniela Pugliese et Hernando Quevedo, « Naked singularities and black hole Killing horizons », dans Daniele Malafarina et Pankaj S. Joshi (éd.), New frontiers in gravitational collapse and spacetime singularities, Singapour, Springer, coll. « Springer series in astrophysics and cosmology », mai 2024, 1^re éd., X-373 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-981-97-1171-0 et 978-981-97-1174-1, EAN 9789819711710, OCLC 1419249529, DOI 10.1007/978-981-97-1172-7, S2CID 269536915, SUDOC 278966225, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 12, p. 337-373.

Cours

• [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (notes de cours, 2^e année du master recherche Astronomie et Astrophysique de l'Observatoire de Paris, des universités Paris-VI – Pierre-et-Marie-Curie, Paris-VII – Paris Diderot et Paris-XI – Paris-Sud, et de l'École normale supérieure, année universitaire 2013-2014), Paris, Observatoire de Paris, mars 2014, 341 p., 30 cm (lire en ligne), § 3.2.4 « Théorème de Birkhoff ».
• [Reall 2017] (en) Harvey S. Reall, Black holes (notes de cours), Cambridge, Université de Cambridge, janvier 2017, VIII-148 p., 30 cm (lire en ligne [PDF]), § 2.1 « Birkhoff's theorem », p. 11-12.

Thèses

• [Dul 2016] (en) Filip Dul, « The geometry of spacetime and its singular nature », Honors Scholar Theses, n^o 497,‎ 2016, p. 32 p., § 2.2 « Birkhoff's theorem », p. 7-10 (résumé, lire en ligne, consulté le 17 janvier 2018).
• [Vasset 2009] Nicolas Vasset et Jérôme Novak (dir.), Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique (thèse de doctorat en astronomie), Paris, Université Paris-VII – Paris-Diderot, Laboratoire Univers et Théories, 30 juin 2009, 171 p., 30 cm (OCLC 690346916, SUDOC 137115849, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).

• Théorème de Birkhoff (électromagnétisme)
• Théorème d'unicité

• (en) Birkhoff's theorem (théorème de Birkhoff) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
• (en) « Birkhoff's Theorem », sur ScienceWorld (consulté le 18 août 2014)

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