En mathématiques, plus spécifiquement en géométrie différentielle, le théorème de De Rham affirme que l'homomorphisme d'anneaux de la cohomologie de De Rham vers la cohomologie singulière donnée par intégration est un isomorphisme[1].
Le lemme de Poincaré implique que la cohomologie de De Rham est la cohomologie des faisceaux ayant pour faisceau constant l'ensemble R des nombres réels. En conséquence, la cohomologie de De Rham est isomorphe en tant que groupe à la cohomologie singulière.
Le théorème de De Rham est un énoncé plus fort, puisqu'il énonce que ce morphisme est un morphisme d'anneaux entre les deux cohomologies. ; Cela témoigne des forts liens qui existent entre l'analyse et la topologie.
Énoncé
Le théorème repose essentiellement sur la construction de l'homomorphisme de De Rham[2].
Soit M une variété et k l'application
de l'espace des p-formes différentielles à l'espace des p-cochaînes singulières données par
La formule de Stokes nous indique que ; c'est à dire que est une application de chaînes qui induit le morphisme suivant :
où les cohomologies H* sont les cohomologies de et , respectivement.
Le théorème énonce que le morphisme induit , appelé homomorphisme de De Rham est non seulement un homomorphisme d'anneaux, mais également un isomorphisme (c'est-à-dire une bijection)[2].
Variantes
Une variante du théorème, due à André Weil précise que la cohomologie de Rham de M est isomorphe en tant qu'anneau avec la cohomologie de Čech de celui-ci[3],[4].
Il existe également une version du théorème pour l'homologie singulière au lieu de la cohomologie singulière. Ainsi, l'application
induit un appariement parfait entre la cohomologie de Rham et l'homologie singulière ; autrement dit, l'application,
est un isomorphisme d'espaces vectoriels[2].
Ce théorème a pour conséquence la propriété suivante que l'on rencontre en analyse : une forme différentielle fermée est exacte si et seulement si toute intégrale sur un cycle quelconque est nulle. Dans le cas particulier des 1-formes, cela signifie qu'une 1-forme fermée est exacte (c'est-à-dire dérive d'un potentiel) si et seulement si l'intégrale est indépendante du chemin .
Il existe également une version du théorème portant sur les courants, affirmant que la cohomologie singulière est isomorphe à la cohomologie du complexe de courants[5].
Cette version est plus faible, car l'isomorphisme n'est pas un homomorphisme d'anneau, l'espace des courants n'étant pas pourvu d'une multiplication, on ne peut y définir une structure d'anneau.
Références
- Gustave Billon, Une Démonstration du théorème de de Rham à l'aide de la cohomologie des faisceaux, Université de Strasbourg, (lire en ligne)
- Frank W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », (ISBN 978-0-387-90894-6), 4.17, 5.35, 5.36, 5.45
- Lawrence Conlon, Differentiable manifolds, Birkhäuser, coll. « Modern Birkhäuser classics », (ISBN 978-0-8176-4766-7, 978-3-7643-4134-3 et 978-0-8176-4134-4), Annexe D
- André Well, « Sur les théorèmes de de Rham », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 26, no 1, , p. 119–145 (ISSN 0010-2571 et 1420-8946, DOI 10.1007/BF02564296, lire en ligne, consulté le )
- (en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, (ISBN 978-1-118-62632-0, lire en ligne)