En théorie des nombres, le théorème de Friedlander–Iwaniec affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$.

Voici ces nombres, en dessous de 1000 : 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977 (suite A028916 de l'OEIS).

La difficulté du résultat réside dans le caractère clairsemé de cette suite : le nombre d'entiers de la forme ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ plus petits que ${\displaystyle n}$ est de l'ordre de ${\displaystyle n^{3/4}}$.

Ce théorème a été prouvé en 1997 par John Friedlander et Henryk Iwaniec^[1]. Iwaniec a reçu en 2001 le prix Ostrowski en partie pour sa contribution à ce travail^[2].

Quand b = 1, les nombres premiers de Friedlander–Iwaniec sont de la forme ${\displaystyle a^{2}+1}$, et forment la suite

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, …, suite A002496 de l'OEIS.

On conjecture que cette suite est infinie (c'est l'un des problèmes de Landau), ce qui ne résulte pas du théorème de Friedlander–Iwaniec.

${\displaystyle 2017=44^{2}+3^{4}}$ est un nombre premier de Friedlander-Iwaniec, ce qui n'était pas arrivé depuis ${\displaystyle 1777=39^{2}+4^{4}}$, année de naissance de Gauss. L'antéprécédent est ${\displaystyle 1657=19^{2}+6^{4}}$, année où Bernard Frénicle de Bessy publia la découverte du nombre taxicab Ta(2)=1729. Le précédent est alors ${\displaystyle 1601=40^{2}+1^{4}}$, année de naissance de Fermat.

• Arithmétique et théorie des nombres