En mathématiques, le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels énonce que deux bases quelconques d'un même espace vectoriel ont même cardinalité^[1],[2],[3]. Joint au théorème de la base incomplète qui assure l'existence de bases, il permet de définir la dimension d'un espace vectoriel comme le cardinal (fini ou infini) commun à toutes ses bases.

(Donc par symétrie, deux bases quelconques ont même cardinal.)

Soient L libre et G génératrice de E, montrons que |L| ≤ |G|.

Notons n = |G|. D'après le lemme de Steinitz, pour toute partie finie de L de cardinal m, on a m ≤ n. Par conséquent, L elle-même est (finie et) de cardinal inférieur ou égal à n.

Pour tout ℓ ∈ L, choisissons une partie finie f(ℓ) de G telle que ℓ appartienne au sous-espace engendré par f(ℓ). Pour tout K appartenant à l'ensemble Fin(G) des parties finies de G, on a (d'après le cas fini ci-dessus) |f⁻¹({K})| ≤ |K| < ℵ₀ donc (d'après les propriétés générales des cardinaux)

${\displaystyle |L|=\sum _{K\in {\rm {Fin}}(G)}|f^{-1}(\{K\})|\leq \sum _{K\in {\rm {Fin}}(G)}\aleph _{0}=|{\rm {Fin}}(G)|\aleph _{0}=|{\rm {Fin}}(G)|=|G|.}$

N.B. : cette démonstration pour le cas infini utilise l'axiome du choix, mais il existe des démonstrations n'utilisant que le lemme des ultrafiltres^[4].

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