En analyse, une fonction de Morse est une fonction différentiable de classe au moins dont les points critiques sont non dégénérés. La notion fut introduite par Marston Morse en 1925[1]. En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme (en).
Définition
Soit une fonction numérique de classe au moins définie soit sur un ouvert de soit sur une variété différentielle .
Définitions :
- Un point du domaine de est dit être un point critique de la fonction si la différentielle de est nulle en , i.e. si .
- Un point critique de est dit non dégénéré si la hessienne de en est non dégénérée.
- La fonction est dite fonction de Morse si ses points critiques sont tous non dégénérés.
- L'indice de Morse d'un point critique d'une fonction de Morse est le nombre de valeurs propres négatives de la hessienne de en .
Propriétés des fonctions de Morse
En vertu du lemme de Morse, autour de tout point critique d'une fonction de Morse , il existe un voisinage ouvert de et un système de coordonnées locales sur tel que pour tout on ait :
Ceci implique, en particulier, que les points critiques d'une fonction de Morse sont des points isolés.
Généricité des fonctions de Morse
Sur une variété différentielle , il existe une panoplie de fonctions de Morse. En effet, l'ensemble des fonctions de Morse lisses sur forme un sous-ensemble ouvert et dense dans l'espace des fonctions réelles lisses sur .
Références
- (en) Marston Morse, « Relations Between the Critical Points of a Real Function of n Independent Variables », Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, vol. 27, no 3, , p. 345-396 (DOI 10.2307/1989110, JSTOR 1989110).