Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

En géométrie euclidienne, dans le cas général, pour un triangle ABC, le cercle inscrit (celui qui est intérieur au triangle) et les cercles exinscrits sont les quatre cercles tangents aux trois droites (AB), (AC) et (BC).

Bissectrices

Article détaillé : Bissectrice.

Un cercle tangent aux trois droites (AB), (BC), (CA) doit posséder un centre équidistant de ces trois droites. Or l'ensemble des points équidistants de deux droites sécantes (d₁) et (d₂) forme deux droites perpendiculaires, constituées des quatre demi-droites bissectrices chacune d'un des quatre secteurs angulaires construits par les droites (d₁) et (d₂), et appelées bissectrices des droites (d₁) et (d₂).

Si on considère les trois côtés du triangle en tant que droites, on dispose en tout de six bissectrices, deux pour chaque couple de droites. Par chacun des sommets du triangle, passe une bissectrice intérieure (qui rencontre le côté opposé du triangle) et une bissectrice extérieure.

Si une bissectrice issue de A rencontre une bissectrice issue de B alors le point d'intersection, étant équidistant de (AB) et (AC) et équidistant de (BA) et (BC), est à égale distance de (CA) et (CB) et appartient donc à l'une (et une seule) des bissectrices issues de C. Il y a donc quatre points de concours possibles.

Cas du cercle inscrit. Les bissectrices intérieures issues de A et B se coupent à l'intérieur des secteurs angulaires (BAC) et (ABC), c'est-à-dire dans le triangle ABC. Le point d'intersection est donc sur la bissectrice intérieure issue de C et plus exactement sur la demi-droite bissectrice du secteur angulaire (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. C'est le cercle inscrit.

Cas des cercles exinscrits. Les bissectrices extérieures issues de A et de B se coupent dans le secteur angulaire (ACB) et rencontrent donc, eux aussi, la demi-droite bissectrice de l'angle (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent au segment [AB] et aux demi-droites d'origines A et B, de supports (AC) et (BC) et ne contenant pas C. C'est un cercle exinscrit au triangle. Un raisonnement analogue peut être fait pour les deux autres couples de bissectrices extérieures.

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont parfois appelés les quatre cercles tritangents du triangle^[1].

Notations

Dans cet article, $a$ désigne la longueur du côté [BC], $b$ la longueur du côté [AC] et $c$ la longueur du côté [AB]. On note également $p={\frac {a+b+c}{2}}$ le demi-périmètre du triangle, $R$ le rayon de son cercle circonscrit, $r$ celui de son cercle inscrit, $S$ son aire. Les longueurs $h A$ , $h B$ , $h C$ désignent respectivement les longueurs des hauteurs issues de A, B, C.

Enfin O désigne le centre du cercle inscrit et O_A, O_B et O_C les trois centres des cercles exinscrits compris dans les secteurs angulaires issus respectivement de A, B, C.

Les lettres ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$ désignent respectivement les angles internes du triangle en A, B, C.

Cercle inscrit

Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle est appelé « cercle inscrit » dans le triangle. C'est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle.

Centre

Son centre est le point d'intersection des bissectrices intérieures ; étant équidistant des côtés, ses coordonnées trilinéaires par rapport aux sommets sont par définition (1 : 1 : 1) ; ses coordonnées barycentriques sont donc $(a:b:c)$ ou $\left({\frac {1}{h_{A}}}:{\frac {1}{h_{B}}}:{\frac {1}{h_{C}}}\right)$ . C'est le premier centre X(1) répertorié dans l'ETC.

Les distances $d_{A},d_{B},d_{C}$ du centre du cercle inscrit aux sommets sont données par $d_{A}={\frac {bc}{p}}\cos {\frac {\widehat {A}}{2}}$ ou $d_{A}^{2}={\frac {p-a}{p}}bc$ et les formules permutées.

La relation d'Euler donne la distance $d$ du centre du cercle inscrit au centre du cercle circonscrit : $d 2 = R 2 - 2 Rr$ .

Article détaillé : Relations d'Euler dans le triangle.

Rayon

Le rayon du cercle inscrit est égal, d'après la preuve illustrée ci-contre, à

r={\frac {S}{p}}={\frac {2S}{a+b+c}}.

Donc ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{A}}}+{\frac {1}{h_{B}}}+{\frac {1}{h_{C}}}$ avec $h_{A}={\frac {2S}{a}},h_{B}={\frac {2S}{b}},h_{C}={\frac {2S}{c}}$ : le rayon du cercle inscrit est le tiers de leur moyenne harmonique.

Compte-tenu de la formule de Héron, on obtient :

r^{2}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4(a+b+c)}}.

$T_{A},T_{B},T_{C}$ étant les points de contact du cercle inscrit avec les côtés $[BC],[CA],[AB]$ , les distances des points de contact aux sommet, appelées "distances de contact", sont $x=AT_{B}=AT_{C},y=BT_{C}=BT_{A},z=CT_{A}=CT_{B}$ .

Comme $a = y+z$ , $b = z+x$ , $c = x+y$ , on obtient :

x = p - a, y = p - b, z = p - c

,

d'où :

r^{2}={\frac {xyz}{x+y+z}}

.

D'autre part, si l'on se souvient que ${\frac {abc}{2S}}=2R$ , on a :

Rr={\frac {abc}{2(a+b+c)}}

.

Dans le cas du triangle rectangle d'hypoténuse de longueur $c$ , l'expression du rayon se simplifie en $r={\frac {a+b-c}{2}}$ .

Point de Gergonne

D'après le théorème de Ceva, les trois céviennes $(AT_{A}),(BT_{B}),(CT_{C})$ joignant les sommets aux points de contact, sont concourantes. En effet, le produit des rapports ${\frac {T_{C}A}{T_{C}B}}\times {\frac {T_{A}B}{T_{A}C}}\times {\frac {T_{B}C}{T_{B}A}}={\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}$ est égal à 1.

Leur point de concours est appelé le point de Gergonne du triangle et le triangle T_AT_BT_C, le triangle de contact (ou triangle de Gergonne) du triangle ABC.

Ses coordonnées barycentriques dans ABC sont $\left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right)=\left({\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}\right)$ .

Démonstration

Si X est le point de coordonnées barycentriques $\left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right)$ , le point d'intersection $X_{A}$ de (AX) et (BC) vérifie ${\frac {1}{y}}{\overline {X_{A}B}}+{\frac {1}{z}}{\overline {X_{A}C}}=0$ , soit ${\frac {\overline {X_{A}C}}{\overline {X_{A}B}}}={\frac {z}{y}}$ , donc $X_{A}=T_{A}$ et de même $X_{B}=T_{B}$ , $X_{C}=T_{C}$ ; donc X est le point de Gergonne.

il est répertorié X(7) dans l'ETC.

De plus, Si T'_A est le point d'intersection des droites (T_BT_C) et (BC) , les points T'_A, B, T_A et C sont en division harmonique.

Propriétés du triangle de contact

L'angle à l'un des sommets du triangle de Gergonne est égal à l'angle entre les deux bissectrices issues des sommets du triangle initial formant le côté où se trouve le sommet du triangle de Gergonne.

Les intersections des bissectrices avec les côtés du triangle de contact présentent des caractéristiques particulières.

Les points d'intersection des bissectrices avec les côtés du triangle de contact permettent de construire trois droites orthogonales aux bissectrices^[2].

Un triangle et son triangle de contact sont homologiques, de centre le conjugué isogonal du point de Gergonne pour le triangle de référence (nombre de Kimberling X₅₅) et d'axe une droite appelée droite de Gergonne du triangle de référence. Les points d'intersection de l'homologie sont les points de Nobbs, qui sont donc par définition sur la droite de Gergonne, de même que le point de Fletcher (nombre de Kimberling X(1323)) et le point d'Evans (nombre de Kimberling X(1375)) du triangle de référence^[3].

Cercle inscrit dans le triangle médian

Le centre du cercle inscrit dans le triangle médian IJK (I milieu de [BC], etc.), appelé point de Spieker, est le centre de gravité (ou d'inertie) de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle.

C'est en effet le barycentre du système ${\textstyle {\begin{pmatrix}I&J&K\\a&b&c\end{pmatrix}}}$ ; ses coordonnées barycentriques dans le triangle de départ sont donc $(b+c:c+a:a+b)$ ; il est répertorié X(10) dans l'ETC.

Cercles exinscrits

Il y a trois cercles exinscrits : chacun est tangent à un unique côté du triangle (considéré comme un segment). On note C_A le cercle exinscrit touchant le côté [CB], C_B le cercle exinscrit touchant le côté [AC] et C_C le cercle exinscrit touchant le côté [AB].

Les rayons des cercles exinscrits sont respectivement (démonstration ci-contre) : $r_{A}={\frac {S}{p-a}},\quad r_{B}={\frac {S}{p-b}}\quad {\rm {et}}\quad r_{C}={\frac {S}{p-c}}$ donc

${\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}={\frac {p}{S}}={\frac {1}{r}}$

et $S={\sqrt {r_{A}r_{B}r_{C}r}}$ .

De plus, le rayon du cercle circonscrit est donné par $4R=r_{A}+r_{B}+r_{C}-r$ ^[4].

On peut noter les relations : ${\frac {r_{A}}{r}}={\frac {p}{p-a}}={\frac {h_{A}}{h_{A}-2r}}={\frac {\tan({\widehat {B}}+{\widehat {C}})}{\tan {\widehat {A}}}}$ ^[5].

Leurs centres sont barycentres du système ${\textstyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\-a&b&c\end{pmatrix}}}$ pour le premier, ${\textstyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\a&-b&c\end{pmatrix}}}$ pour le second et ${\textstyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\a&b&-c\end{pmatrix}}}$ pour le troisième.

Le terme "exinscrit" a été introduit par Simon Antoine Jean L'Huillier^[6].

Le triangle formé par les centres des trois cercles exinscrits est également appelé triangle exinscrit, ou aussi triangle excentral ou triangle de Bevan.

Point de Nagel

On note U_A le point de tangence de C_A avec [CB], U_B le point de tangence de C_B avec [AC] et U_C le point de tangence de C_C avec [AB].

Alors les droites (AU_A), (BU_B) et (CU_C) sont concourantes : leur point d'intersection N_a s'appelle le point de Nagel du triangle (nombre de Kimberling X(8)). On appelle le triangle U_AU_BU_C le triangle de Nagel du triangle ABC.

Le point de Nagel N_a, le centre du cercle inscrit I et le centre de gravité G sont alignés sur la droite de Nagel et liés par la relation IN_a = 3 IG. Le point de Spieker est aussi sur cette droite, c'est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.

Il est possible de construire en quelques secondes le point de Nagel d'un triangle en s'inspirant d'une construction qui aboutit au cercle de Conway^[7].

Point de Bevan

Les droites (O_AU_A), (O_BU_B) et (O_CU_C) sont également concourantes : leur point d'intersection B_e s'appelle le point de Bevan du triangle ABC (portant le nom de Benjamin Bevan, nombre de Kimberling X(40)) et le triangle O_AO_BO_C s'appelle le triangle de Bevan de ABC.

Le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit dans ABC, par rapport au centre du cercle circonscrit à ABC. Le point de Bevan et ces deux centres sont donc alignés.

Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan.

Illustration de l'homothétie entre le triangle de Gergonne et le triangle de Bevan d'un triangle.

Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont homothétiques, de centre d'homothétie le conjugué isogonal du mitenpunkt de ABC et de rapport ${\textstyle {\frac {4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}}$ ^[8].

Point d'Apollonius

Il existe un unique cercle tangent simultanément aux trois cercles exinscrits et qui les contienne (voir Problème des contacts) ; c'est le cercle d'Apollonius du triangle. Si l'on note V_A, V_B et V_C les trois points de tangence alors les droites (AV_A), (BV_B) et (CV_C) sont concourantes : leur point d'intersection A_p s'appelle le point d'Apollonius du triangle (nombre de Kimberling X(181)).

Mittenpunkt

On appelle mittenpunkt du triangle ABC le point de concours des droites reliant les centres O_A, O_B, O_C des trois cercles exinscrits aux milieux respectifs des côtés du triangle (nombre de Kimberling X(9)).

Le mittenpunkt M_i est situé sur la droite reliant le centre de gravité G au point de Gergonne G_e avec la relation M_iG_e = 3M_iG.

Le mittenpunkt M_i est situé sur la droite reliant le centre du cercle inscrit au point de Lemoine.

Le mittenpunkt est également le point de Lemoine du triangle de Bevan O_AO_BO_C, triangle formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits.

Le mittenpunkt d'un triangle est le centre de son ellipse de Mandart.

Il est le centre de l'ellipse de Mandart du triangle (l'ellipse inscrite dans le triangle et tangente aux points de contact des cercles exinscrits U_A, U_B, U_C).

Points de Feuerbach

Article détaillé : Théorème de Feuerbach.

Les trois cercles exinscrits et le cercle inscrit sont tangents au cercle d'Euler du triangle ABC. Les points de contact F^e, Fe
A, Fe
B, Fe
C de ces cercles s'appellent les points de Feuerbach du triangle. Ce résultat constitue le théorème de Feuerbach.

Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach Fe
AFe
BFe
C du triangle ABC.

Soit S le point de concours des droites (AFe
A), (BFe
B), (CFe
C). Alors le point S, le centre du cercle inscrit, le centre du cercle d'Euler et le point de Feuerbach F^e sont alignés et en division harmonique.

Le cercle passant par les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC passe aussi par le point de Feuerbach F^e.

Le point de Feuerbach F^e est le centre de symétrie d'une hyperbole équilatère (dite hyperbole de Feuerbach) passant en particulier par :

les trois sommets du triangle ;
l'orthocentre ;
le centre du cercle inscrit ;
le point de Gergonne ;
le point de Nagel ;
le mittenpunkt.

Le point de Feuerbach d'un triangle est le seul centre de ce triangle à être sur son ellipse de Mandart

Le point de Feuerbach est un des seuls centres du triangle sur l'ellipse de Mandart (ellipse tangente aux côtés du triangle aux points de contact des cercles exinscrits et ayant pour centre le mittenpunkt).

Notes et références

↑ H.S.M. Coxeter et S.L. Greitzer, Redécouvrons la géométrie, Paris, Dunod, 1971, 214 p., p. 14
↑ Démonstration sur tube.geogebra.org.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gergonne Line », sur MathWorld
↑ Amy Bell, « "Hansen's right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342. » [archive du 31 août 2021] (consulté le 5 mai 2012)
↑ Loïc Terrier, « Autre démonstration du théorème des co-hauteurs »
↑ Joseph Diez Gergonne, Annales de mathématiques pures et appliquées (lire en ligne) p. 139.
↑ Xavier Dussau, « Elementary construction of the Nagel point », sur HAL.
↑ (en) Sara Grozdev, Hiroshi Okumura et Deko Dekov, « Triangles Homothetic with the Intouch Triangle », Mathematical Reflections, vol. 4,‎ 2018

Yvonne et René Sortais, La géométrie du triangle, Hermann, 1997 (ISBN 978-2-7056-1429-4).
Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4).

Voir aussi

Articles connexes

Cercle circonscrit au triangle
Nombre de Kimberling
Triplet pythagoricien ; le triangle associé possède des cercles inscrits et exinscrits très simples
Carré inscrit dans un triangle
Sphère inscrite dans un tétraèdre

Liens externes

(en) A. Bogomolny, « Incircles and Excircles in a Triangle », sur Cut The Knot
(en) Eric W. Weisstein, « Incircle », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Excircles », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Nagel Point », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Gergonne Point », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Bevan Point », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Mittenpunkt », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[1] H.S.M. Coxeter et S.L. Greitzer, Redécouvrons la géométrie, Paris, Dunod, 1971, 214 p., p. 14

[2] Démonstration sur tube.geogebra.org.

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Gergonne Line », sur MathWorld

[4] Amy Bell, « "Hansen's right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342. » [archive du 31 août 2021] (consulté le 5 mai 2012)

[5] Loïc Terrier, « Autre démonstration du théorème des co-hauteurs »

[6] Joseph Diez Gergonne, Annales de mathématiques pures et appliquées (lire en ligne) p. 139.

[7] Xavier Dussau, « Elementary construction of the Nagel point », sur HAL.

[8] (en) Sara Grozdev, Hiroshi Okumura et Deko Dekov, « Triangles Homothetic with the Intouch Triangle », Mathematical Reflections, vol. 4,‎ 2018

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron