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En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant e^π, c'est-à-dire e à la puissance π.

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et –i (non rationnel) sont algébriques, or

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}}$

(En considérant, la détermination principale de l'argument).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2^√2.

Sous forme décimale, la constante est égale à

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }\approx 23{,}140692632.}$

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}}}}}}$

où ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

${\displaystyle \left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.}$

Le nombre

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }-\pi =19{,}99909998\ldots }$

est un nombre presque entier.

(en) Eric W. Weisstein, « Gelfond's Constant », sur MathWorld

(en) Samuel W. Gilbert, The Riemann Hypothesis and the Roots of the Riemann Zeta Function, BookSurge, 2009, 140 p. (ISBN 978-1-4392-1638-5, lire en ligne), p. 93

• Arithmétique et théorie des nombres