En mathématiques, les entiers surnaturels, parfois appelés entiers généralisés or nombres de Steinitz, sont une généralisation des entiers naturels, introduite par Ernst Steinitz^[1]:249-251 en 1910 dans le cadre de son travail sur la théorie des corps.

Un entier surnaturel ${\displaystyle \omega }$ est un produit formel ${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$ où ${\displaystyle p}$ parcourt l'ensemble de tous les nombres premiers, et où chaque ${\displaystyle n_{p}}$ est un entier naturel (éventuellement 0) ou le symbole ${\displaystyle \infty }$. On note parfois ${\displaystyle v_{p}(\omega )}$ au lieu de ${\displaystyle n_{p}}$. Si ${\displaystyle n_{p}\neq \infty }$ pour tout ${\displaystyle p}$ et qu'il n'y a qu'un nombre fini de ${\displaystyle n_{p}}$ non nuls, on retrouve les entiers positifs usuels. Par définition (en accord avec les formules de calcul données ci-dessous), on pose ${\displaystyle 0=\prod _{p}p^{\infty }.}$

Il ne semble pas possible de définir une addition sur les nombres surnaturels, mais on peut les multiplier par la formule ${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$ (avec ${\displaystyle n_{p}+\infty =\infty }$). De même, la notion de divisibilité s'étend aux surnaturels en posant ${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$ si ${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$ pour tout ${\displaystyle p}$. On peut définir de même le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple en posant${\displaystyle \displaystyle \operatorname {ppcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$ et ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {\rm {pgcd}} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\operatorname {inf} (v_{p}(\omega _{i}))}}$. Avec ces définitions, le pgcd ou le ppcm d'une famille infinie de supernaturels est encore un supernaturel. Enfin, la valuation ${\displaystyle p}$-adique se prolonge aux supernaturels en posant ${\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p}}$ .

Les nombres supernaturels permettent de définir des ordres et des indices pour les sous-groupes des groupes profinis, et de démontrer que beaucoup de théorèmes pour les groupes finis s'appliquent encore. Ils permettent également d'encoder les extensions algébriques des corps finis^[2]. Ils interviennent aussi dans la classification des algèbres uniformément hyperfinies (en).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Supernatural numbers » (voir la liste des auteurs).

• Joel V. Brawley et George E. Schnibben, Infinite algebraic extensions of finite fields, vol. 95, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Contemporary Mathematics », 1989, 23–26 p. (ISBN 0-8218-5101-2, zbMATH 0674.12009)
• Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, vol. 124, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs », 2006 (ISBN 0-8218-4041-X, zbMATH 1103.12002), p. 125
• Michael D. Fried et Moshe Jarden, Field arithmetic, vol. 11, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge », 2008, 3rd éd. (ISBN 978-3-540-77269-9, zbMATH 1145.12001), p. 520

• Entier profini

• (en) Planet Math: Supernatural number

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Entier surnaturel Entier profini Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

• Arithmétique et théorie des nombres