Un nombre octaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un octaèdre régulier, ou deux pyramides placées ensemble, l'une placée sur l'autre renversée.

Le nombre octaédrique d'ordre ${\displaystyle n}$, correspondant au cas où il y a ${\displaystyle n}$ points sur chaque arête de l'octaédre, est donné par la formule :

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$^[1],[2],[3].

Les dix premiers nombres octaédriques sont :

La série génératrice des nombres octaédriques est la fraction rationnelle :

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

O_n peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs : ${\displaystyle O_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}k^{2}+\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

On obtient ici ${\displaystyle O_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(S-1)+(A-q)(n-2)+(F-q)(P_{m,n}-m(n-1))}$,

où ${\displaystyle S=6,A=12,F=8}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'octaèdre, ${\displaystyle \{m,q\}=\{3,4\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et ${\displaystyle P_{m,n}}$ le nombre m-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(6-1)+(12-4)(n-2)+(8-4)(n(n+1)/2-3(n-1))=2n^{2}-2n+1}$.

D'où ${\displaystyle O_{n}=2{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-2{\frac {n(n+1)}{2}}+n={n(2n^{2}+1) \over 3}}$.

Si l'on retranche à chacun des 6 sommets de la construction précédente à l'étape ${\displaystyle 3n-2}$ une pyramide à base carrée à l'étape ${\displaystyle n-1}$, on obtient les nombres octaédriques tronqués : ${\displaystyle OT_{n}=O_{3n-2}-6P_{n-1}^{(4)}=16n^{3}-33n^{2}+24n-6}$ : 1, 38, 201, 586, 1289, 2406, 4033, 6266, 9201, 12934,... (suite A005910 de l'OEIS) ^[4].

• Conjectures de Pollock
• Nombre octaédrique centré
• Nombre 4-hyperoctaédrique
• Nombre hyperoctaédrique

• (en) Eric W. Weisstein, « Octahedral number », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres