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En philosophie des mathématiques, l'ultrafinitisme, (aussi connu sous le nom d'ultraintuitionnisme, finitisme strict, ou encore de finitisme fort) est une forme extrême de finitisme. Une caractéristique de l'ultrafinitisme est son objection à la totalité de certaines fonctions numériques jusqu'à y compris l'exponentiation.

L'ultrafinitisme nie l'existence de l'ensemble infini ${\displaystyle \mathbb {N} }$ des entiers naturels, car celui-ci ne pourra jamais être complété.

En outre, certains ultrafinitistes doutent de l'existence de certains objets mathématiques que personne ne peut construire en pratique. Ainsi, certains ultrafinitistes nient l'existence de grands nombres, par exemple la partie entière du premier nombre de Skewes, qui est un nombre extrêmement grand défini en utilisant la fonction exponentielle tel que exp(exp(exp(79))), ou

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}{\mbox{.}}\!}$

La raison est que personne n'a encore calculé la partie entière de cet entier naturel. De même, ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$ (en notation des flèches de Knuth) ne serait considérée que comme une expression formelle qui ne correspond pas à un entier naturel.

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$

Certaines versions de l'ultrafinitisme sont des formes de constructivisme, mais la plupart des constructivistes considèrent l'ultrafinitisme comme irréalisable. Le fondement logique de l'ultrafinitisme n'est pas clair et dans son étude Constructivism in Mathematics (1988), le logicien constructiviste A. S. Troelstra le rejette en affirmant qu'« aucun développement satisfaisant n'existe à l'heure actuelle ».

Un travail sérieux sur l'ultrafinitisme a été mené, depuis 1959, par Alexander Esenin-Volpin, qui a esquissé en 1961 un programme pour prouver la cohérence de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel dans les mathématiques ultrafinies. D'autres mathématiciens qui ont travaillé sur le sujet sont Doron Zeilberger, Edward Nelson et Rohit Jivanlal Parikh. L'ultrafinitisme est parfois associée à Ludwig Wittgenstein, Robin Gandy et J. Hjelmslev.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ultrafinitism » (voir la liste des auteurs).

• (en) A. S. Ésénine-Volpine, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warsaw, 1959), Oxford, Pergamon, 1961, 201–223 p. (MR 0147389), « Le programme ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques » Revu par (en) G. Kreisel et A. Ehrenfeucht, Review of Le Programme Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques by A. S. Ésénine-Volpine, vol. 32, Association for Symbolic Logic, 1967 (DOI 10.2307/2270182, JSTOR 2270182), chap. 4, p. 517
• (en) Shaughan Lavine, Understanding the Infinite, Harvard University Press, 1994 (ISBN 978-0-674-92096-5)

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Universalis
• Notices d'autorité :

  • GND
• (en) András Kornai, « Explicit Finitism », International Journal of Theoretical Physics, vol. 42, n^o 2,‎ 1^er février 2003, p. 301–307 (ISSN 1572-9575, DOI 10.1023/A:1024451401255)
• (en) Vladimir Yu. Sazonov, « On feasible numbers », Logic and Computational Complexity, Springer,‎ 1995, p. 30–51 (ISBN 978-3-540-44720-7, DOI 10.1007/3-540-60178-3_78)
• "Real" Analysis Is A Degenerate Case Of Discrete Analysis par Doron Zeilberger
• Discussion on formal foundations sur MathOverflow
• History of constructivism in the 20th century par A. S. Troelstra
• Predicative Arithmetic par Edward Nelson
• Logical Foundations of Proof Complexity par Stephen A. Cook et Phuong The Nguyen
• Bounded Reverse Mathematics par Phuong The Nguyen
• Reading Brian Rotman’s “Ad Infinitum…” par Charles Petzold
• Computational Complexity Theory

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