Cet article est indexé par le projet Mathématiques.

Les projets ont pour but d’enrichir le contenu de Wikipédia en aidant à la coordination du travail des contributeurs. Vous pouvez modifier directement cet article ou visiter les pages de projets pour prendre conseil ou consulter la liste des tâches et des objectifs.

Évaluation de l’article « Ellipsoïde »

Avancement	Importance	pour le projet
Bon début	Élevée		Mathématiques (discussion • critères • liste • stats • hist. • comité • stats vues)

Cet article ne comporte pas de liste de tâches suggérées. Vous pouvez saisir une liste de tâches à accomplir (par exemple sous forme d'une liste à puces), puis sauvegarder. Vous pouvez aussi consulter la page d'aide.

L'avis d'un expert est nécessaire sur le lien existant entre les valeurs singulières de la matrice A (dans le cas de l'équation générale d'un ellipsoïde (x-v)^TA(x-v) = 1 ) et les demi-axes :

• D'une part, le gif animé montre le lien entre les valeurs singulières et les demi-axes
• D'autre part, pour une matrice symétrique carré, les valeurs singulières sont égales aux valeurs propres, ces dernières étant égales à 1/a², 1/b² et 1/c²

Une explication plus détaillée serait donc la bienvenue.

Dans la référence donnée, la définition de l'ellipsoïde n'est donnée qu'avec une matrice symétrique définie positive. Ici on ne demande à la matrice ${\displaystyle M}$ que d'être définie positive, ce qui en suivant les liens internes, ne signifie pas plus qu'être inversible avec tous les coefficients positifs (et non strictement positifs).

Du coup à moins que je ne me trompe, j'ai un contre-exemple : ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$. Avec cette matrice l'ellipsoïde serait ${\displaystyle 2xy=1}$, ce qui n'est pas correct.

À mon avis une partie du problème est que dans l'article Matrice_définie_positive, les mots "matrice positive" pointent vers la partie "matrice symétrique" de l'article "matrice définie positive".

Quoi qu'il en soit, symétrique ou non, la matrice ${\displaystyle M}$ qui définit l'ellipsoïde doit avoir ses valeurs propres strictement positives, ce qui n'est évidement pas le cas de mon contre-exemple.

J'ai changé ça. Par ailleurs, j'ai conclu de la page de discussion de Matrice positive que ce terme (ie : matrice positive) a deux significations : le premier indiquant que tous les éléments de la matrices sont positifs, le deuxième étant les matrices semi-définie positive et que les deux significations sont mélangées dans la-dite page. D'où le fait que le lien vers "matrice positive" dans l'article "matrice définie positive" pointe vers la fin de l'article et que si on regarde le début, la définition n'est pas celle correspondante.

152.77.240.76 (discuter) 3 avril 2014 à 16:16 (CEST)[répondre]

Il est toujours délicat de venir jouer l'inspecteur des travaux finis alors que l'on a pas mouillé la chemise dans la création de l'article mais comme cette demande en a été faite plusieurs fois [1], [2] sur le projet math, il faut bien que quelqu'un s'y colle. Déjà bravo Wikini d'avoir désébauché l'article initial quasi doublon de l'article sur l’ellipsoïde de révolution. Cependant, il y a beaucoup de points qui me posent de réels problèmes et qui nécessiteraient une refonte à mon avis (mais je souhaiterais l'avis d'autres contributeurs)

Merci pour ce regard sur l'article. J'ai fait quelques modifications selon les remarques faites. J'ai indiqués quelques réponses/commentaires au fil de l'eau.

• l'absence complète d'indication sur la nature du repère dans lequel est écrite l'équation

je pense avoir corrigé ça.

• le chapitre équation généralisée
  • il me semble illogique de partir de la forme précise pour donner ensuite une forme qui peut aussi conduire à un point ou l'ensemble vide

je suppose que par "forme précise", il est entendu l'équation présentée dans le chapeau de l'article. Il me paraît plus abordable d'utiliser cette formule dans le chapeau plutôt que d'attaquer directement avec la représentation matricielle, sachant qu'il est précisé que c'est l'équation d'un ellipsoïde spécifique (centré en l'origine avec les axes alignés à ceux du repères)

• • la démonstration évite soigneusement le seul cas dans lequel on se place : la dimension 3 pour traiter du cas plus général des forme quadratiques

J'ai amélioré cela.

• • La maladresse, qui existe aussi dans l'article anglais, consistant à dire que l’ellipsoïde est caractérisé par les solutions d'une équation touchant des vecteurs, alors que l’ellipsoïde est un ensemble de points.
  • l'animation concernant un décomposition en valeurs singulière parle de l'ellipse et non de l’ellipsoïde

je l'ai enlevée.

• • Le théorème spectral est évoqué après que l'on ait déjà parlé de vecteurs propres et valeurs propres de la matrice alors qu'il est nécessaire pour justifier de leur existence.

• • l'article parle des « matrices symétriques en dimension finie représentant les formes quadratiques» laissant supposer que certaine matrice symétrique pourrait ne pas représenter de forme quadratique (maladresse souligné d’ailleurs par une référence demandée)

C'est typiquement le genre de points sur lesquels un regard plus matheux que le mien est indispensable ! J'ai donc modifié le texte en conséquence. Cela va-t-il mieux ? Je me pose par contre la question suivante : la matrice A est forcément symétrique ET carrée ET réelle ET définie positive ?

• • la phrase «Les valeurs singulières de M, étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.» est incompréhensible, la matrice M n'ayant pas été définie. On peut remplacer M par A et valeur singulière par valeur propre mais alors on aboutit à répéter ce qui est déjà dit deux phrases avant.

J'ai changé M en A. Est-ce que en trois dimensions, la décompositions en valeur singulière correspond également à la succession d'une rotation, une dilatation et une rotation ? Si oui, je pense qu'il serait intéressant de l'indiquer.

• paramétrisation

Honnêtement, j'ai pompé ce paragraphe sur la version anglaise de l'article sans vraiment en comprendre le sens...

• • j'ai du mal à comprendre le sens de la phrase «Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques.». Certes, il y a analogie avec les coordonnées d'un point sur une sphère dans le cas ou a=b=c mais le terme de coordonnées sphériques a un sens mathématique qu'il ne faudrait pas galvauder.
  • la phrase «Le paramètre \phi correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse.» est très mal dite : une ellipse ne possède pas d'anomalie excentrique car pour une ellipse donnée, l'anomalie excentrique dépend du point observé.
  • la phrase «Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation.», que l'on retrouve d'ailleurs dans l'article anglais, me semble peu claire, il existe de nombreuses paramétrisation possibles d'un ellipsoïde
  • je ne comprends la phrase «Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite». les autres ellipsoïdes en posséderaient plusieurs?
• Espace projectif (je laisse les spécialiste des ellipsoïdes imaginaires se prononcer)
• Volume pas d'erreur à mon avis mais des sources seraient souhaitables
• surface : formules fidèles aux source, des s oubliés dans intégraleS elliptiqueS mais dans l'état actuel de notre article intégrale elliptique les formules de E et F doivent à mon avis figurer en clair sinon la formule ne sert à rien.

Toujours possible de prendre les formules de la version anglaise de la page, mais je ne saurais mettre de texte les expliquant.

• excentricité : première fois que j'en entends parler, l'article allemand définit l'excentricité uniquement dans le cas d'un ellipsoïde de révolution pour lequel d'ailleurs semble exister une formule plus simple de l'aire.

Désolée pour l'aspect négatif que ma lecture peut donner. L'article a pourtant beaucoup progressé. Beaucoup de mes remarques sont des points de détails que l'on peut corriger mais la section sur équation généralisée est à reprendre à fond (je peux le faire si tu es d'accord) avec suppression de l'illustration, suppression de la démonstration, explicitation plus claire entre équation générale d'une quadrique et spécificité de l'équation de l’ellipsoïde.

D'autres avis ? HB (discuter) 14 mai 2014 à 11:53 (CEST)[répondre]

Plus globalement, pour la section "équation générale", j'ai modifié certains points selon les remarques faites, mais c'est avec plaisir que je laisse les autres points être corrigés. Par ailleurs, je songe également à ajouter les coordonnées dans d'autres repères, comme fait sur la page anglaise : en:Ellipsoid#Equations_in_specific_coordinate_systems, mais étant donné qu'il n'y a aucune référence, j'ai un doute. Y aurait-il une référence quelque part ? Et encore merci pour la relecture. Wikini (discuter) 16 mai 2014 à 18:55 (CEST)[répondre]

Merci pour ta réactivité, tu peux ajouter, si tu veux, la section sur les autres équations réduites (en coordonnées sphériques et cylindriques), pour ma part je n'en vois pas très bien l'utilité mais elles ne comportent pas d'erreurs. Tu as, par ailleurs, posé deux autres questions qui demandent, elles, un développement à part. Je réponds donc dans deux sous-sections. HB (discuter) 17 mai 2014 à 12:51 (CEST)[répondre]

Tu t'es posé la question « Je me pose par contre la question suivante : la matrice A est forcément symétrique ET carrée ET réelle ET définie positive ? »

Ceci concerne les quadriques en général et leur classification (voir quadrique#Classification générale)

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A\,\mathbf {x} +B^{\mathrm {T} }\mathbf {x} +C=0}$ est l'équation d'une quadrique à condition toutefois que A soit une matrice carrée sinon on ne peut pas calculer x^tAx.

L'équation générale d'une quadrique est ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dyz+2Exz+2Fxy+Gx+Hy+Iz+J=0}$ où tous les coefficients sont des réels

On choisit de découper cette équation en trois bouts : un premier groupe regroupant les 6 premier termes, un second regroupant les trois suivants et on laisse le dernier terme tout seul; on obtient alors l'équation matricielle standard d'une quadrique :${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A\,\mathbf {x} +B^{\mathrm {T} }\mathbf {x} +C=0}$ où cette fois si A est par construction symétrique (carrée et réelle).

La classification des quadriques se fait alors selon le rang et la signature de la matrice A. Pour une matrice de rang 3 et de signature (3,0) ou (0,3), on tombe sur une quadrique de type ellipsoïde. A condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice A est alors symétrique définie et positive (carrée, réelle) .

Puisque la matrice est de déterminant non nul, la quadrique possède un centre dont les coordonnées sont données par le vecteur v = -¹⁄₂A^-1B et son équation est :${\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\!A\,\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=K}$

Mais on n'est pas encore sûr, à ce stade d'avoir un ellipsoïde. Si K est négatif, on a l'ensemble vide et si K est nul, la quadrique est réduite à un point (ce sont les ellipsoïdes dégénérés).

Si K est positif, en divisant tous les coefficients de la matrice par K on obtient la forme annoncée dans l'article : ${\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\!A_{1}\,\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=1}$ où A₁ est encore une matrice carrée symétrique définie positive.

C'est pour cela que je trouve illogique de démontrer que la forme aboutie est un cas particulier d'une forme générale alors que c'est l'autre démarche (passage de la forme générale à la forme particulière, spécifique d'un ellipsoïde) qui apporte de l'information. HB (discuter) 17 mai 2014 à 12:51 (CEST)[répondre]

Merci beaucoup pour ces précisions. J'ai fait une refonte de la section concernée, en recopiant grosso modo cette réponse. Il y a encore certainement des améliorations possibles, retouches bienvenues.Wikini (discuter) 27 mai 2014 à 06:25 (CEST)[répondre]

Sur les valeurs singulières tu as répondu « J'ai changé M en A. Est-ce que en trois dimensions, la décompositions en valeur singulière correspond également à la succession d'une rotation, une dilatation et une rotation ? Si oui, je pense qu'il serait intéressant de l'indiquer. »

Inutile de parler de valeurs singulières pour la matrice A, on parle plus simplement de valeurs propres. J'ai l'impression que tu as fait une confusion entre A matrice de l’ellipsoïde et M matrice de la transvection (dans le cas de l' illustration que tu avais mise). L'illustration montrait comment une transvection transformait un cercle en ellipse, en se servant de la décomposition de la matrice de transvection en valeurs singulières. Le même résultat est vrai pour toute transformation affine dans le plan comme dans l'espace : toute transformation affine dans l'espace, transforme une sphère en ellipsoïde et inversement, pour tout ellipsoïde, il existe une transformation affine le transformant en sphère unité. C'est la raison pour laquelle on a appelé d'un même nom des objets qui sont ressemblants mais pas identiques. On dit que l'ensemble des ellipsoïdes est l'orbite de la sphère unité sous l'action du groupe des transformations affines. Est-ce utile ici de dire que toute transformation affine a une matrice M se décomposant en valeurs singulières, donc qu'une transformation affine dans un espace euclidien est la composée d'une translation avec 2 isométries (pas nécessairement des rotations) et 3 dilations (une suivant chaque axe) ? Je pense que c'est hors sujet ici. On peut cependant évoquer le fait qu'une transformation affine transforme une sphère unité en ellipsoïde et que les valeurs singulières de sa matrice M associée sont les demi-grands axes de cet ellipsoïde. On peut aussi dire qu'un ellipsoïde est l'image d'une sphère de même centre par trois dilations dans trois directions orthogonales.HB (discuter) 17 mai 2014 à 12:51 (CEST)[répondre]

Une démonstration n'est pas toujours nécessaire, une source est souvent plus souhaitable. Je laisse les autres contributeurs discuter ici de la pertinence et du contenu d'une démonstration. HB (discuter) 28 août 2023 à 18:24 (CEST)[répondre]

Merci HB . S'agissant d'un calcul classique et présent dans divers ouvrages, je ne suis pas opposé à l'insertion d'une démonstration (avec le modèle idoine, pour ne pas l’imposer au lecteur). Mais celle proposée par A.Dopke est alambiquée et moins naturelle qu'on pourrait penser (découpage en éléments de volume ayant une signification géométrique) : puisqu'il faut passer par des intégrales, autant procéder comme on fait pour le calcul du volume de n'importe quel solide bien paramétré. Le calcul classique part de la représentation paramétrique tout aussi classique ${\displaystyle x=\rho \,a\,\cos \theta }$, ${\displaystyle y=\rho \,b\,\sin \theta \,\cos \varphi }$, ${\displaystyle z=\rho \,c\,\sin \theta \,\sin \varphi }$. Il ne doit pas être difficile de trouver des sources. — Ariel (discuter) 28 août 2023 à 18:50 (CEST)[répondre]

Bon, je n'ai pas de source explicitant effectivement le calcul de l'ellipsoide...

• Lelong Ferrand & Arnaudies (maths 1er cycle universitaire et classe prépa(T4)) , pour un calcul de volume, préconisent la méthode employé par A.Dopke : intégrer S(z)dz où S(z) est l'aire de la section de solide par le plan de côte z. Ici, la section étant une ellipse de demi-axes ${\displaystyle a{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}}$ et ${\displaystyle b{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}}$, son aire est immédiate : ${\displaystyle \pi ab\left(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)}$, fonction de z qui s'intègre facilement. Ce type de calcul est du niveau terminale.
• Ils proposent seulement ensuite la méthode générale utilisant le jacobien qui demande de connaitre les dérivées partielles, de calculer un déterminant 3*3 et de calculer une intégrale triple. Ce type de calcul est de niveau licence.
• Il y a aussi les méthodes connues avant le calcul intégral : une affinité de direction une droite perpendiculaire à la base et de rapport k multiplie les volumes par |k|. : l’ellipsoïde de paramètres a, b et c est l'image de la sphère de rayon 1 par trois affinités d'axes (Ox), (Oy), (Oz) et de rapports a, b, c. Son volume est donc ${\displaystyle abc\times {\frac {4}{3}}\pi }$. Ce type de calcul est de niveau géométrie de grand-papa.

Je n'ai de source pour aucune des méthodes (c'est pourquoi je n'insisterai pas pour la présence d'une dem) mais l'utilisation du jacobien ne me parait pas la plus accessible. HB (discuter) 28 août 2023 à 22:32 (CEST)[répondre]

Je serai d avis de mettre plusieurs demos et le lecteur pourrait choisir celle qu lui convient... 92.184.97.177 (discuter) 29 août 2023 à 00:09 (CEST)[répondre]

Merci HB pour ces développements (bien sûr la méthode grand-papa ! Je l'avais oubliée). Je pense qu'on peut mettre les trois (pourquoi le manuel que tu cites ne constituerait-il pas une source acceptable ?), et d'ailleurs en profiter pour les ajouter comme exemples d'un calcul de volume dans l'article « Volume ». — Ariel (discuter) 29 août 2023 à 07:47 (CEST)[répondre]

Lelong-Ferrand & Arnaudies donnent les méthodes générales de calcul de volume mais ne les appliquent pas sur l'exemple de ellipsoïde. HB (discuter) 29 août 2023 à 14:48 (CEST)[répondre]