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En mathématiques, un nombre premier palindrome est un nombre premier qui est aussi un nombre palindrome. Le caractère palindrome dépend de la base du système de numération et de ses conventions d'écriture, tandis que la primalité est indépendante de ce genre de considérations.

Les vingt premiers nombres premiers palindromes en base dix sont^[1] : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Voici une pyramide de nombres premiers palindromes ^[2]

                   2
                 30203
               133020331
             1713302033171
           12171330203317121
         151217133020331712151
       1815121713302033171215181
     16181512171330203317121518161
   331618151217133020331712151816133
 9333161815121713302033171215181613339

Excepté 11, tous les nombres premiers palindromes en base dix ont un nombre impair de chiffres^[3]. En effet, d'après le critère de divisibilité par 11, tout nombre palindrome ayant un nombre pair de chiffres est divisible par 11.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers palindromes en base dix^[3]. Le plus grand nombre premier palindrome connu en janvier 2013 est 10^314 727 – 8×10^157 363 – 1, trouvé par Harvey Dubner^[4]. En 2017 le plus grand connu est ${\displaystyle 10^{474500}+999\cdot 10^{237249}+1}$, qui contient 474 501 chiffres^[3].

En binaire, les nombres premiers palindromes les plus faciles à obtenir sont les nombres premiers de Mersenne, puisqu'ils sont aussi des nombres premiers répunits. Les quatre premiers nombres premiers palindromes qui ne sont pas nombres de Mersenne sont 5 (101), 17 (10001), 73 (1001001) et 107 (1101011).

Paulo Ribenboim^[5] définit un nombre premier triplement palindrome comme un nombre premier palindrome à p chiffres, où p est un nombre premier palindrome à q chiffres et q est un nombre premier palindrome. 10 000 500 001 est le plus petit nombre premier triplement palindrome^[3], il a 11 chiffres et 11 a lui-même 2 chiffres et ces trois entiers sont des nombres premiers. ${\displaystyle 10^{11310}+4661664\cdot 10^{5652}+1}$ est un autre exemple d'entier premier triplement palindrome^[3] : il possède p = 11 311 chiffres, p étant lui-même un nombre premier palindrome contenant 5 chiffres, 5 en étant un lui aussi.

Il est possible qu'un nombre premier triplement palindrome en base dix puisse être aussi palindrome dans une autre base, telle que la base 2, mais il serait hautement remarquable s'il était aussi triplement palindrome dans cette base.

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres