Constante des nombres premiers

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En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel $\rho$ , compris entre 0 et 1, dont le $n$ -ième chiffre binaire après la virgule est 1 si $n$ est premier et 0 si $n$ est composé ou égal à 1.

Description

De façon plus rigoureuse, le développement binaire de $\rho$ correspond à la fonction caractéristique $\chi _{\mathbb {P} }$ de l'ensemble $\mathbb {P}$ des nombres premiers :

\rho =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}.

Le début du développement décimal de ρ est : $0{,}4146825098$ ^[1]. Le début de son développement binaire est : $0{,}0110101000$ ^[2].

On démontre par l'absurde que $\rho$ est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.

Notons $r_{k}$ le $k$ -ième chiffre de ce développement binaire de $\rho$ . Il existe donc deux entiers $k>0$ et $N$ tels que $r_{n}=r_{n+k}$ pour tout $n\geq N$ .

Pour $k$ et $N$ comme ci-dessus, choisissons un nombre premier $p\geq N$ . Alors, $1=r_{p}=r_{p+k}=r_{p+2k}=\dots =r_{p+pk}$ , ce qui est absurde puisque $p+pk=p(k+1)$ est composé.